ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ, термин, используемый в математике для обозначения такой зависимости между двумя величинами, при которой если одна величина задана, то другая может быть найдена. Обычно функция (с 17 в.) задается формулой, выражающей зависимую переменную через одну или несколько независимых переменных. Например, площадь круга есть функция его радиуса, и эта зависимость записывается формулой A = pr²; периметр прямоугольника является функцией его длины и ширины или P = 2(l + w). Функцию можно изобразить графически, нанося точки, координатами которых служат независимые и зависимые переменные, на координатную плоскость (рис. 1). См. также АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Считалось, что график, подобный изображенному на рис. 2, не может быть графиком одной функции, так как различные его части должны описываться различными формулами (y = x для x от 0 до 1; y = –x для x от -1 до 0; y = 2 – x для x от 1 до 2 и т.д.). Каково же было удивление математиков, когда в начале 19 в. они обнаружили, что график функции, изображенной на рис. 2, в действительности определяется формулой

где многоточие указывает на то, что формула неограниченно продолжается аналогичным образом. См. также РЯДЫ.

Это открытие привело к пересмотру определения функции. Согласно новому определению, под функцией надлежит понимать любое правило, позволяющее находить одно число (значение зависимой переменной), если задано другое число или набор чисел (значений независимых переменных). Такое правило может быть выражено формулой, но это необязательно. Его можно задать графически или просто описать словами. Например, «наибольшее целое число, не превосходящее x» обозначается как [x] и представляется графически, как показано на рис. 3. Другой пример: правило «продолжительность дня x заданного года в часах». При таком описательном определении функции отпадает необходимость предполагать, что независимая и зависимая переменные – числа; они могут быть чем угодно. Например, положение города на карте является функцией его положения на поверхности Земли, а фамилию взрослого человека можно определить как функцию номера его паспорта. В каждом случае первое может быть найдено, если задано второе. Наряду с термином «функция» употребляют также равнозначные ему термины «отображение», «операция», «преобразование», «соответствие». Например, функцию, заданную формулой y = x², можно представить как отображение оси x на ось y, как операцию возведения числа x в квадрат и как преобразование, превращающее число x в его квадрат.

В настоящее время такое определение функции заменено более общим. Определение функции как правила, ставящего в соответствие значение зависимой переменной каждому значению независимой переменной, не удовлетворяло, поскольку не определяло функцию как математический объект. Чтобы пояснить новое определение, предположим, что у нас имеется некоторое множество элементов A. Рассмотрим набор таких упорядоченных пар (a,b) (упорядоченность означает, что пара (a,b) считается отличной от пары (b,a)), в которых a принадлежит множеству A, а b может принадлежать A или какому-нибудь другому множеству. Такой набор упорядоченных пар называется отношением. Примерами могут служить пары чисел (x,x²) при любых значениях x; пары чисел (x,y), таких, что y < x²; или пары (a,b) отцов (a) и сыновей (b), в которых каждый отец встречается столько раз, сколько у него сыновей. Второй элемент упорядоченной пары не всегда определяется однозначно, если задан ее первый элемент. В первом примере он может быть однозначно определен, так как любое число имеет только один квадрат, но во втором и третьем примерах это не так, поскольку существует много чисел y, меньших, чем квадрат данного числа x, а у одного отца может быть несколько сыновей. Если второй элемент упорядоченной пары можно найти при заданном первом элементе, то каждый первый элемент встречается только один раз, и такое отношение называется функцией. Таким образом, функцией является только первое из трех приведенных выше примеров отношений. Если пары отцов и сыновей записать в обратном порядке, то они образуют функцию, так как у каждого сына есть только один отец. В более старой терминологии отношение, удовлетворяющее этому определению, называлось однозначной функцией, а некоторые другие типы отношений – многозначными функциями. Если функция задана графически, то упорядоченные пары представляют собой не что иное, как координаты точек графика, и новое определение сводится к утверждению, что функция есть геометрическое место точек, совпадающее с графиком.

Традиционная запись y = f(x) означает, что y является функцией от x. Переменная x называется аргументом функции.

Многие конкретные функции имеют свои названия; обычно такие функции задаются формулами. К числу элементарных функций относятся многочлены

логарифмическая функция, экспоненциальная функция, тригонометрические функции и их конечные комбинации. Примерами некоторых неэлементарных функций могут служить гамма-функция Эйлера

обобщающая факториал целого числа на нецелые значения x; при положительных целых x функция Г(x) сводится к (x – 1)! = 1Ч2Ч3Ч...Ч(x – 1) (это произведение называется факториалом числа x – 1); дзета-функция Римана

играющая важную роль в теории чисел, и функция ошибок

встречающаяся в статистике. В математической физике используются функции Бесселя

удовлетворяющие дифференциальному уравнению

См также АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА; МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ; ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ; ЛОГАРИФМ; ЧИСЛО; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ.