МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Содержание статьи

• ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
• Касательные.
• Максимумы и минимумы.
• Приложения.
• Производные.
• Линейные аппроксимации.
• ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
• Площади.
• Основная теорема.
• Объемы.
• Первообразные.
• Функции двух переменных.
• Частные производные.
• Более строгое обоснование математического аппарата.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.

Начало математическому анализу положил в 1665 И.Ньютон и (около 1675) независимо от него Г.Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валлис (1616–1703) и И.Барроу (1630–1677).

Чтобы сделать изложение более живым, мы будем прибегать к языку графиков. Поэтому читателю, возможно, будет полезно заглянуть в статью АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, прежде чем приступать к чтению данной статьи.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Касательные.

На рис. 1 показан фрагмент кривой y = 2x – x², заключенный между x = –1 и x = 3. Достаточно малые отрезки этой кривой выглядят прямыми. Иначе говоря, если Р – произвольная точка этой кривой, то существует некоторая прямая, проходящая через эту точку и являющаяся приближением кривой в малой окрестности точки Р, причем чем меньше окрестность, тем лучше приближение. Такая прямая называется касательной к кривой в точке Р. Основная задача дифференциального исчисления заключается в построении общего метода, позволяющего находить направление касательной в любой точке кривой, в которой касательная существует. Нетрудно представить себе кривую с резким изломом (рис. 2). Если Р – вершина такого излома, то можно построить аппроксимирующую прямую PT₁ – справа от точки Р и другую аппроксимирующую прямую РТ₂ – слева от точки Р. Но не существует единственной прямой, проходящей через точку Р, которая одинаково хорошо приближалась к кривой в окрестности точки P как справа, так и слева, следовательно касательной в точке P не существует.

На рис. 1 касательная ОТ проведена через начало координат О = (0,0). Угловой коэффициент этой прямой равен 2, т.е. при изменении абсциссы на 1 ордината увеличивается на 2. Если x и y – координаты произвольной точки на ОТ, то, удаляясь от О на расстояние х единиц вправо, мы удаляемся от О на 2y единиц вверх. Следовательно, y/x = 2, или y = 2x. Это уравнение касательной ОТ к кривой y = 2x – x² в точке О.

Необходимо теперь объяснить, почему из множества прямых, проходящих через точку О, выбрана именно прямая ОТ. Чем же прямая с угловым коэффициентом 2 отличается от других прямых? Существует один простой ответ, и нам трудно удержаться от искушения привести его, используя аналогию с касательной к окружности: касательная ОТ имеет с кривой только одну общую точку, тогда как любая другая невертикальная прямая, проходящая через точку О, пересекает кривую дважды. В этом можно убедиться следующим образом.

Поскольку выражение y = 2x – x² можно получить вычитанием х² из y = 2x (уравнения прямой ОТ), то значения y для графика оказываются меньше знаний y для прямой во всех точках, за исключением точки x = 0. Следовательно, график всюду, кроме точки О, расположен ниже ОТ, и эта прямая и график имеют только одну общую точку. Кроме того, если y = mx – уравнение какой-нибудь другой прямой, проходящей через точку О, то обязательно найдутся две точки пересечения. Действительно, mx = 2x – x² не только при x = 0, но и при x = 2 – m. И только при m = 2 обе точки пересечения совпадают. На рис. 3 показан случай, когда m меньше 2, поэтому справа от О возникает вторая точка пересечения.

То, что ОТ – единственная невертикальная прямая, проходящая через точку О и имеющая с графиком лишь одну общую точку, не самое главное ее свойство. Действительно, если мы обратимся к другим графикам, то вскоре выяснится, что отмеченное нами свойство касательной в общем случае не выполняется. Например, из рис. 4 видно, что вблизи точки (1,1) график кривой y = x³ хорошо аппроксимируется прямой РТ, имеющей однако, с ним более одной общей точки. Тем не менее, нам хотелось бы считать РТ касательной к этому графику в точке Р. Поэтому необходимо найти какой-то иной способ выделения касательной, чем тот, который так хорошо послужил нам в первом примере.

Предположим, что через точку О и произвольную точку Q = (h,k) на графике кривой y = 2x – x² (рис. 5) проведена прямая (называемая секущей). Подставляя в уравнение кривой значения x = h и y = k, получаем, что k = 2h – h², следовательно, угловой коэффициент секущей равен

При очень малых h значение m близко к 2. Более того, выбирая h достаточно близким к 0, мы можем сделать m сколь угодно близким к 2. Можно сказать, что m «стремится к пределу», равному 2, когда h стремится к нулю, или что предел m равен 2 при h, стремящемся к нулю. Символически это записывается так:

Тогда касательная к графику в точке О определяется как прямая, проходящая через точку О, с угловым коэффициентом, равным этому пределу. Такое определение касательной применимо в общем случае.

Покажем преимущества этого подхода еще на одном примере: найдем угловой коэффициент касательной к графику кривой y = 2x – x² в произвольной точке P = (x,y), не ограничиваясь простейшим случаем, когда P = (0,0).

Пусть Q = (x + h, y + k) – вторая точка на графике, находящаяся на расстоянии h справа от Р (рис. 6). Требуется найти угловой коэффициент k/h секущей PQ. Точка Q находится на расстоянии

над осью х.

Раскрывая скобки, находим:

Вычитая из этого уравнения y = 2x – x², находим расстояние по вертикали от точки Р до точки Q:

Следовательно, угловой коэффициент m секущей PQ равен

Теперь, когда h стремится к нулю, m стремится к 2 – 2x; последнюю величину мы и примем за угловой коэффициент касательной PT. (Тот же результат получится, если h принимает отрицательные значения, что соответствует выбору точки Q слева от P.) Заметим, что при x = 0 полученный результат совпадает с предыдущим.

Выражение 2 – 2x называется производной от 2x – x². В старину производную также называли «дифференциальным отношением» и «дифференциальным коэффициентом». Если выражением 2x – x² обозначить f(x), т.е.

то производную можно обозначить

Для того, чтобы узнать угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в какой-нибудь точке, необходимо подставить в f ў(x) соответствующее этой точке значение х. Таким образом, угловой коэффициент f ў(0) = 2 при х = 0, f ў(0) = 0 при х = 1 и f ў(2) = –2 при х = 2.

Производную также обозначают у ў, dy/dx, D_хy и Dу.

Тот факт, что кривая y = 2x – x² вблизи данной точки практически неотличима от ее касательной в этой точке, позволяет говорить об угловом коэффициенте касательной как об «угловом коэффициенте кривой» в точке касания. Такие образом, мы можем утверждать, что угловой коэффициент рассматриваемой нами кривой имеет в точке (0,0) угловой коэффициент 2. Можно также сказать, что при x = 0 скорость изменения y относительно x равна 2. В точке (2,0) угловой коэффициент касательной (и кривой) равен –2. (Знак минус означает, что при возрастании x переменная y убывает.) В точке (1,1) касательная горизонтальна. Мы говорим, что кривая y = 2x – x² имеет в этой точке стационарное значение.

Максимумы и минимумы.

Мы только что показали, что кривая f(x) = 2x – x² стационарна в точке (1,1). Так как f ў(x) = 2 – 2x = 2(1 – x), ясно, что при x, меньших 1, f ў(x) положительна, и, следовательно, y возрастает; при x, больших 1, f ў(x) отрицательна, и поэтому y убывает. Таким образом, в окрестности точки (1,1), обозначенной на рис. 6 буквой М, значение у растет до точки М, стационарно в точке М и убывает после точки М. Такая точка называется «максимумом», поскольку значение у в этой точке превосходит любые его значения в достаточно малой ее окрестности. Аналогично, «минимум» определяется как точка, в окрестности которой все значения y превосходят значение у в самой этой точке. Может также случиться, что хотя производная от f (x) в некоторой точке и обращается в нуль, ее знак в окрестности этой точки не меняется. Такая точка, не являющаяся ни максимумом, ни минимумом, называется точкой перегиба.

В качестве примера найдем стационарную точку кривой

Производная этой функции равна

и обращается в нуль при x = 0, х = 1 и х = –1; т.е. в точках (0,0), (1, –2/15) и (–1, 2/15). Если х чуть меньше –1, то f ў(x) отрицательна; если х чуть больше –1, то fў(x) положительна. Следовательно, точка (–1, 2/15) – максимум. Аналогично, можно показать, что точка (1, –2/15) – минимум. Но производная f ў(x) отрицательна как до точки (0,0), так и после нее. Следовательно, (0,0) – точка перегиба.

Проведенное исследование формы кривой, а также то обстоятельство, что кривая пересекает ось х при f(x) = 0 (т.е. при х = 0 или ) позволяют представить ее график примерно так, как показано на рис. 7.

В общем, если исключить необычные случаи (кривые, содержащие прямолинейные отрезки или бесконечное число изгибов), существуют четыре варианта взаимного расположения кривой и касательной в окрестности точки касания Р. (См. рис. 8, на котором касательная имеет положительный угловой коэффициент.)

1) По обе стороны от точки Р кривая лежит выше касательной (рис. 8,а). В этом случае говорят, что кривая в точке Р выпукла вниз или вогнута.

2) По обе стороны от точки Р кривая расположена ниже касательной (рис. 8,б). В этом случае говорят, что кривая выпукла вверх или просто выпукла.

3) и 4) Кривая располагается выше касательной по одну сторону от точки Р и ниже – по другую. В этом случае Р – точка перегиба.

Сравнивая значения f ў(x) по обе стороны от Р с ее значением в точке Р, можно определить, с каким из этих четырех случаев приходится иметь дело в конкретной задаче.

Приложения.

Все изложенное выше находит важные приложения в различных областях. Например, если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 200 футов в секунду, то высота s, на которой они будут находиться через t секунд по сравнению с начальной точкой составит

Действуя так же, как в рассмотренных нами примерах, находим

эта величина обращается в нуль при с. Производная fў(x) положительна до значения с и отрицательна по истечении этого времени. Следовательно, s возрастает до , затем становится стационарной, а после убывает. Таково общее описание движения брошенного вверх тела. Из него мы узнаем, когда тело достигает высшей точки. Далее, подставляя t = 25/4 в f (t), мы получаем 625 футов, максимальную высоту подъема. В данной задаче f ў(t) имеет физический смысл. Эта производная показывает скорость, с которой тело движется в момент времени t.

Рассмотрим теперь приложение другого типа (рис. 9). Из листа картона площадью 75 см² требуется изготовить коробку с квадратным дном. Каковы должны быть размеры этой коробки, чтобы она имела максимальный объем? Если х – сторона основания коробки и h – ее высота, то объем коробки равен V = x²h, а площадь поверхности равна 75 = x² + 4xh. Преобразуя уравнение, получаем:

откуда

Производная от V оказывается равной

и обращается в нуль при х = 5. Тогда

и V = 125/2. График функции V = (75x – x³)/4 показан на рис. 10 (отрицательные значения х опущены как не имеющие физического смысла в данной задаче).

Производные.

Важная задача дифференциального исчисления – создание методов, позволяющих быстро и удобно находить производные. Например, несложно посчитать, что

(Производная от постоянной, разумеется, равна нулю.) Нетрудно вывести общее правило:

где n – любое целое число или дробь. Например,

(На этом примере видно, как полезны дробные показатели степени.)

Приведем некоторые важнейшие формулы:

Существуют также следующие правила: 1) если каждая из двух функций g(x) и f(x) имеет производные, то производная их суммы равна сумме производных этих функций, а производная разности равна разности производных, т.е.

2) производная произведения двух функций вычисляется по формуле:

3) производная отношения двух функций имеет вид

4) производная функции, умноженной на константу, равна константе, умноженной на производную этой функции, т.е.

Часто бывает, что значения функции приходится вычислять поэтапно. Например, чтобы вычислить sin x², нам необходимо сначала найти u = x², а затем уже вычислить синус числа u. Производную таких сложных функций мы находим с помощью так называемого «цепного правила»:

В нашем примере f(u) = sin u, f ў(u) = cos u, следовательно,

откуда

Эти и другие, аналогичные им, правила позволяют сразу же выписывать производные многих функций.

Линейные аппроксимации.

То обстоятельство, что, зная производную, мы можем во многих случаях заменить график функции вблизи некоторой точки ее касательной в этой точке, имеет огромное значение, поскольку с прямыми легче работать.

Эта идея находит непосредственное приложение в вычислении приближенных значений функций. Например, довольно трудно вычислить значение при x = 1,033. Но можно воспользоваться тем, что число 1,033 близко к 1 и что . Вблизи x = 1 мы можем заменить график кривой касательной, не совершая при этом сколько-нибудь серьезной ошибки. Угловой коэффициент такой касательной равен значению производной (x^1/3)ў = (1/3)x^–2/3 при x = 1, т.е. 1/3. Так как точка (1,1) лежит на кривой и угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равен 1/3, уравнение касательной имеет вид

или

На этой прямой при х = 1,033

Полученное значение y должно быть очень близко к истинному значению y; и, действительно, оно лишь на 0,00012 больше истинного. В математическом анализе разработаны методы, позволяющие повышать точность такого рода линейных приближений. Эти методы обеспечивают надежность наших приближенных вычислений.

Только что описанная процедура наводит на мысль об одном полезном обозначении. Пусть P – точка, соответствующая на графике функции f переменной х, и пусть функция f(x) дифференцируема. Заменим график кривой вблизи точки Р касательной к нему, проведенной в этой точке. Если х изменить на величину h, то ордината касательной изменится на величину hЧf ў(x). Если h очень мало, то последняя величина служит хорошим приближением к истинному изменению ординаты y графика. Если вместо h мы напишем символ dx (это не произведение!), а изменение ординаты y обозначим dy, то получим dy = f ў(x)dx, или dy/dx = f ў(x) (см. рис. 11). Поэтому вместо Dy или f ў(x) для обозначения производной часто используется символ dy/dx. Удобство этого обозначения зависит главным образом от явного появления цепного правила (дифференцирования сложной функции); в новых обозначениях эта формула выглядит следующим образом:

где подразумевается, что у зависит от u, а u в свою очередь зависит от х.

Величина dy называется дифференциалом у; в действительности она зависит от двух переменных, а именно: от х и приращения dx. Когда приращение dx очень мало, величина dy близка к соответствующему изменению величины y. Но предполагать, что приращение dx мало, нет необходимости.

Производную функции y = f(x) мы обозначили f ў(x) или dy/dx. Часто оказывается возможным взять производную от производной. Результат называется второй производной от f (x) и обозначается f ўў(x) или d ²y/dx². Например, если f(x) = x³ – 3x², то f ў(x) = 3x² – 6x и f ўў(x) = 6x – 6. Аналогичные обозначения используются и для производных более высокого порядка. Однако, чтобы избежать большого количества штрихов (равного порядку производной) четвертую производную (например) можно записать как f ⁽⁴⁾(x), а производную n-го порядка как f ⁽ⁿ⁾(x).

Можно показать, что кривая в точке выпукла вниз, если вторая производная положительна, и выпукла вверх, если вторая производная отрицательна.

Если функция имеет вторую производную, то изменение величины y, соответствующее приращению dx переменной х, можно приближенно вычислить по формуле

Это приближение, как правило, лучше, чем то, которое дает дифференциал fў(x)dx. Оно соответствует замене части кривой уже не прямой, а параболой.

Если у функции f(x) существуют производные более высоких порядков, то

Остаточный член имеет вид

где x – некоторое число между x и x + dx. Приведенный выше результат называется формулой Тейлора с остаточным членом. Если f(x) имеет производные всех порядков, то обычно R_n ® 0 при n ® Ґ.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Площади.

При изучении площадей криволинейных плоских фигур открываются новые аспекты математического анализа. Такого рода задачи пытались решать еще древние греки, для которых определение, например, площади круга было одной из труднейших задач. Больших успехов в решении этой проблемы добился Архимед, которому также удалось найти площадь параболического сегмента (рис. 12). С помощью весьма сложных рассуждений Архимед доказал, что площадь параболического сегмента составляет 2/3 от площади описанного прямоугольника и, следовательно, в данном случае равна (2/3)(16) = 32/3. Как мы увидим в дальнейшем, этот результат можно легко получить методами математического анализа.

Предшественники Ньютона и Лейбница, главным образом Кеплер и Кавальери, решали задачи о вычислении площадей криволинейных фигур с помощью метода, который трудно назвать логически обоснованным, но который оказался чрезвычайно плодотворным. Когда же Валлис в 1655 соединил методы Кеплера и Кавальери с методами Декарта (аналитической геометрией) и воспользовался только что зародившейся алгеброй, сцена для появления Ньютона была полностью подготовлена.

Валлис разбивал фигуру, площадь которой требовалось вычислить, на очень узкие полоски, каждую из которых приближенно считал прямоугольником. Затем он складывал площади аппроксимирующих прямоугольников и в простейших случаях получал величину, к которой стремилась сумма площадей прямоугольников, когда число полосок стремилось к бесконечности. На рис. 13 показаны прямоугольники, соответствующие некоторому разбиению на полоски площади под кривой y = x².

Основная теорема.

Великое открытие Ньютона и Лейбница позволило исключить трудоемкий процесс перехода к пределу суммы площадей. Это было сделано благодаря новому взгляду на понятие площади. Суть в том, что мы должны представить площадь под кривой как порожденную ординатой, движущейся слева направо и спросить, с какой скоростью изменяется заметаемая ординатами площадь. Ключ к ответу на этот вопрос мы получим, если рассмотрим два частных случая, в которых площадь заранее известна.

Начнем с площади под графиком линейной функции y = 1 + x, поскольку в этом случае площадь можно вычислить с помощью элементарной геометрии.

Пусть A(x) – часть плоскости, заключенная между прямой y = 1 + x и отрезком OQ (рис. 14). При движении QP вправо площадь A(x) возрастает. С какой скоростью? Ответить на этот вопрос нетрудно, так как мы знаем, что площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований. Следовательно,

Скорость изменения площади A(x) определяется ее производной

Мы видим, что Aў(x) совпадает с ординатой у точки Р. Случайно ли это? Попробуем проверить на параболе, изображенной на рис. 15. Площадь A (x) под параболой у = х² в интервале от 0 до х равна A(x) = (¹/₃)(x)(x²) = x³/3. Скорость изменения этой площади определяется выражением

которое в точности совпадает с ординатой у движущейся точки Р.

Если предположить, что это правило выполняется в общем случае так, что

есть скорость изменения площади под графиком функции y = f(x), то этим можно воспользоваться для вычислений и других площадей. На самом деле, соотношение Aў(x) = f(x) выражает фундаментальную теорему, которую можно было бы сформулировать следующим образом: производная, или скорость изменения площади как функции от х, равна значению функции f (x) в точке х.

Например, чтобы найти площадь под графиком функции y = x³ от 0 до х (рис. 16), положим

Возможный ответ гласит:

так как производная от х⁴/4 действительно равна х³. Кроме того, A(x) равна нулю при х = 0, как и должно быть, если A(x) действительно является площадью.

В математическом анализе доказывается, что другого ответа, кроме приведенного выше выражения для A(x), не существует. Покажем, что это утверждение правдоподобно с помощью следующего эвристического (нестрогого) рассуждения. Предположим, что существует какое-либо второе решение В(x). Если A(x) и В(x) «стартуют» одновременно с нулевого значения при х = 0 и все время изменяются с одинаковой скоростью, то их значения ни при каком х не могут стать различными. Они должны всюду совпадать; следовательно, существует единственное решение.

Как можно обосновать соотношение Aў(x) = f(x) в общем случае? На этот вопрос можно ответить, лишь изучая скорость изменения площади как функции от х в общем случае. Пусть m – наименьшее значение функции f (x) в интервале от х до (x + h), а M – наибольшее значение этой функции в том же интервале. Тогда приращение площади при переходе от х к (x + h) должно быть заключено между площадями двух прямоугольников (рис. 17). Основания обоих прямоугольников равны h. Меньший прямоугольник имеет высоту m и площадь mh, больший, соответственно, М и Mh. На графике зависимости площади от х (рис. 18) видно, что при изменении абсциссы на h, значение ординаты (т.е. площадь) увеличивается на величину, заключенную между mh и Mh. Угловой коэффициент секущей на этом графике находится между m и M. Что происходит, когда h стремится к нулю? Если график функции y = f(x) непрерывен (т.е. не содержит разрывов), то и М, и m стремятся к f(x). Следовательно, угловой коэффициент Aў(x) графика площади как функции от х равен f(x). Именно к такому заключению и требовалось придти.

Лейбниц предложил для площади под кривой y = f(x) от 0 до а обозначение

При строгом подходе этот так называемый определенный интеграл должен быть определен как предел некоторых сумм на манер Валлиса. Учитывая полученный выше результат, ясно, что этот интеграл вычисляется при условии, что мы можем найти такую функцию A(x), которая обращается в нуль при х = 0 и имеет производную Aў(x), равную f (x). Нахождение такой функции принято называть интегрированием, хотя уместнее эту операцию было бы называть антидифференцированием, имея в виду, что она является в некотором смысле обратной дифференцированию. В случае многочлена интегрирование выполняется просто. Например, если

то

в чем нетрудно убедиться, продифференцировав A(x).

Чтобы вычислить площадь А₁ под кривой y = 1 + x + x²/2, заключенную между ординатами 0 и 1, мы просто записываем

и, подставляя х = 1, получаем A₁ = 1 + ¹/₂ + ¹/₆ = ⁵/₃. Площадь A(x) от 0 до 2 равна A₂ = 2 + ⁴/₂ + ⁸/₆ = ¹⁶/₃. Как видно из рис. 19, площадь, заключенная между ординатами 1 и 2, равна A₂ – A₁ = ¹¹/₃. Обычно она записывается в виде определенного интеграла

Объемы.

Аналогичные рассуждения позволяют удивительно просто вычислять объемы тел вращения. Продемонстрируем это на примере вычисления объема шара, еще одной классической задачи, которую древним грекам, с помощью известных им методов, удалось решить с великим трудом.

Повернем часть плоскости, заключенной внутри четверти круга радиуса r, на угол 360° вокруг оси х. В результате мы получим полушарие (рис. 20), объем которого обозначим V(x). Требуется определить, с какой скоростью возрастает V(x) с увеличением x. Переходя от х к х + h, нетрудно убедиться в том, что приращение объема меньше, чем объем p(r² – x²)h кругового цилиндра радиуса и высотой h, и больше, чем объем p[r² – (x + h)²]h цилиндра радиуса и высотой h. Следовательно, на графике функции V(x) угловой коэффициент секущей заключен между p(r² – x²) и p[r² – (x + h)²]. Когда h стремится к нулю, угловой коэффициент стремится к

Следовательно,

При x = r мы получаем

для объема полушария, и, следовательно, 4pr³/3 для объема всего шара.

Аналогичный метод позволяет находить длины кривых и площади искривленных поверхностей. Например, если a(x) – длина дуги PR на рис. 21, то наша задача состоит в вычислении aў(x). Воспользуемся на эвристическом уровне приемом, который позволяет не прибегать к обычному предельному переходу, необходимому при строгом доказательстве результата. Предположим, что скорость изменения функции а(x) в точке Р такая же, какой она была бы при замене кривой ее касательной PT в точке P. Но из рис. 21 непосредственно видно, при шаге h вправо или влево от точки х вдоль РТ значение а(x) меняется на

Следовательно, скорость изменения функции a(x) составляет

Чтобы найти саму функцию a(x), необходимо лишь проинтегрировать выражение, стоящее в правой части равенства. Оказывается, что для большинства функций выполнить интегрирование довольно трудно. Поэтому разработка методов интегрального исчисления составляет большую часть математического анализа.

Первообразные.

Каждую функцию, производная которой равна данной функции f(x), называют первообразной (или примитивной) для f(x). Например, х³/3 – первообразная для функции х², так как (x³/3)ў = x². Разумеется, х³/3 – не единственная первообразная функции х², так как x³/3 + C также является производной для х² при любой константе С. Однако мы в дальнейшем условимся опускать такие аддитивные постоянные. В общем случае

где n – положительное целое число, так как (xⁿ + 1/(n + 1))ў = xⁿ. Соотношение (1) выполняется в еще более общем смысле, если n заменить любым рациональным числом k, кроме –1.

Произвольную первообразную функцию для заданной функции f(x) принято называть неопределенным интегралом от f(x) и обозначать его в виде

Например, так как (sin x)ў = cos x, справедлива формула

Из формулы (1) следует, что для n № –1. Так как (lnx)ў = x^–1, то .

Во многих случаях, когда существует формула для неопределенного интеграла от заданной функции, ее можно найти в многочисленных широко публикуемых таблицах неопределенных интегралов. Табличными являются интегралы от элементарных функций (в их число входят степени, логарифмы, показательная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, а также их конечные комбинации, получаемые с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления). С помощью табличных интегралов можно вычислить интегралы и от более сложных функций. Существует много способов вычисления неопределенных интегралов; наиболее распространенный из них метод подстановки или замены переменной. Он состоит в том, что если мы хотим в неопределенном интеграле (2) заменить x на некоторую дифференцируемую функцию x = g(u), то, чтобы интеграл не изменился, надо x заменить на gў(u)du. Иначе говоря, справедливо равенство

Пример 1.

(подстановка 2x = u, откуда 2dx = du).

Приведем еще один метод интегрирования – метод интегрирования по частям. Он основан на известной уже формуле

Ее можно записать так:

Проинтегрировав левую и правую части, и учитывая, что

получим

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример 2. Требуется найти . Так как cos x = (sin x)ў, мы можем записать, что

Из (5), полагая u = x и v = sin x, получаем

А поскольку (–cos x)ў = sin x мы находим, что и

Пример 3.

Следует подчеркнуть, что мы ограничились лишь весьма кратким введением в весьма обширный предмет, в котором накоплены многочисленные остроумные приемы.

Функции двух переменных.

В связи с кривой y = f(x) мы рассмотрели две задачи.

1) Найти угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке. Эта задача решается вычислением значения производной f ў(x) в указанной точке.

2) Найти площадь под кривой над отрезком оси х, ограниченную вертикальными линиями х = а и х = b. Эта задача решается вычислением определенного интеграла .

Каждая из этих задач имеет аналог в случае поверхности z = f(x,y).

1) Найти касательную плоскость к поверхности в данной точке.

2) Найти объем под поверхностью над частью плоскости ху, ограниченной кривой С, а сбоку – перпендикулярами к плоскости xy, проходящими через точки граничной кривой С (см. рис. 22).

Следующие примеры показывают, как решаются эти задачи.

Пример 4. Найти касательную плоскость к поверхности

в точке (0,0,2).

Плоскость определена, если заданы две лежащие в ней пересекающиеся прямые. Одну из таких прямых (l₁) мы получим в плоскости xz (у = 0), вторую (l₂) – в плоскости yz (x = 0) (см. рис. 23).

Прежде всего, если у = 0, то z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x². Производная по х, обозначаемая fўx(x,0) = –2 – 6x, при х = 0 имеет значение –2. Прямая l₁, задаваемая уравнениями z = 2 – 2x, у = 0 – касательная к С₁, линии пересечения поверхности с плоскостью у = 0. Аналогично, если х = 0, то f(0,y) = 2 – y – y², и производная по у имеет вид

Так как fўy(0,0) = –1, кривая С₂ – линия пересечения поверхности с плоскостью yz – имеет касательную l₂, задаваемую уравнениями z = 2 – y, х = 0. Искомая касательная плоскость содержит обе прямые l₁ и l₂ и записывается уравнением

Это – уравнение плоскости. Кроме того, мы получаем прямые l₁ и l₂, полагая, соответственно, у = 0 и х = 0.

В том, что уравнение (7) действительно задает касательную плоскость, на эвристическом уровне можно убедиться, если заметить, что это уравнение содержит члены первого порядка, входящие в уравнение (6), и что члены второго порядка можно представить в виде –[2x² + (x + y)²]. Так как это выражение отрицательно при всех значениях х и у, кроме х = у = 0, поверхность (6) всюду лежит ниже плоскости (7), кроме точки Р = (0,0,0). Можно сказать, что поверхность (6) выпукла вверх в точке Р.

Пример 5. Найти касательную плоскость к поверхности z = f(x,y) = x² – y² в начале координат 0.

На плоскости у = 0 имеем: z = f(x,0) = x² и fўx(x,0) = 2x. На С₁, линии пересечения, z = x². В точке O угловой коэффициент равен fўx(0,0) = 0. На плоскости х = 0 имеем: z = f(0,y) = –y² и fўy(0,y) = –2y. На С₂, линии пересечения, z = –y². В точке O угловой коэффициент кривой С₂ равен fўy(0,0) = 0. Так как касательные к С₁ и С₂ являются осями х и у, касательная плоскость, содержащая их, есть плоскость z = 0.

Однако в окрестности начала координат наша поверхность не находится по одну сторону от касательной плоскости. Действительно, кривая С₁ всюду, за исключением точки 0, лежит выше касательной плоскости, а кривая С₂ – соответственно ниже ее. Поверхность пересекает касательную плоскость z = 0 по прямым у = х и у = –х. Про такую поверхность говорят, что она имеет седловую точку в начале координат (рис. 24).

Частные производные.

В предыдущих примерах мы использовали производные от f (x,y) по х и по у. Рассмотрим теперь такие производные в более общем плане. Если у нас имеется функция двух переменных, например, F(x,y) = x² – xy, то мы можем определить в каждой точке две ее «частные производные», одну – дифференцируя функцию по х и фиксируя у, другую – дифференцируя по у и фиксируя х. Первая из этих производных обозначается как fўx(x,y) или ¶f/¶x; вторая – как fўy(x,y) или ¶f/¶y. Если f(x,y) = x² – xy, то ¶f/¶x = 2x – y и ¶f/¶y = –x. Заметим, что частные производные от любой функции – это, вообще говоря, новые функции. На практике эти функции в свою очередь дифференцируемы. Частные производные от fўx по х и у принято обозначать, соответственно, и или ¶2f/¶x² и ¶2f/¶x¶y; аналогичные обозначения используются и для частных производных от fўy. Если обе смешанные производные (по х и у, по у и х) непрерывны, то ¶2f/¶x¶y = ¶2f/¶y¶x; в нашем примере ¶2f/¶x¶y = ¶2f/¶y¶x = –1.

Частная производная fўx(x,y) указывает скорость изменения функции f в точке (x,y) в направлении возрастания х, а fўy(x,y) – скорость изменения функции f в направлении возрастания у. Скорость изменения функции f в точке (х,у) в направлении прямой, составляющей угол q с положительным направлением оси х, называется производной от функции f по направлению; ее величина представляет собой комбинацию двух частных производных от функции f – по х и по у, и равна

Как мы уже видели в частных случаях, касательная плоскость к поверхности z = f(x,y) в точке (x₀, y₀) имеет уравнение

Если обозначить x – x₀ через dx, а y – y₀ через dy, то уравнение касательной плоскости означает, что изменение dz = z – z₀ в касательной плоскости, когда x изменяется на dx, а у – на dy, равно dz = fўx(x₀,y₀)dx + fўy(x₀,y₀)dy. Эта величина называется дифференциалом функции f. Если f имеет непрерывные частные производные, то изменение dz в касательной плоскости почти равно (при малых dx и dy) истинному изменению z на поверхности, но вычислить дифференциал обычно бывает легче.

Уже рассмотренная нами формула из метода замены переменной, известная как производная сложной функции или цепное правило, в одномерном случае, когда у зависит от х, а х зависит от t, имеет вид:

Для функций двух переменных аналогичная формула имеет вид:

Понятия и обозначения частного дифференцирования нетрудно обобщить на более высокие размерности. В частности, в случае если поверхность задана неявно уравнением f(x,y,z) = 0, уравнению касательной плоскости к поверхности можно придать более симметричную форму: уравнение касательной плоскости в точке (x₀,y₀,z₀) имеет вид

Если задана поверхность f(x,y,z) = 0 и мы хотим узнать, что происходит на поверхности, то обычно любые две из трех переменных можно считать независимыми, а третью переменную рассматривать как зависимую от них. Иногда для обозначения частных производных в этом случае используется символ (¶z/¶x)_y, чтобы подчеркнуть, что дифференцирование производится по х, а у считается независимой переменной. Имеем:

эта формула подчеркивает, что мы не можем придать независимый смысл символам ¶x, ¶y, ¶z или рассматривать ¶z/¶x как отношение ¶z к ¶x.

Обратимся теперь к примеру второй задачи, т.е. вычислению объемов.

Пример 6. Найти объем тела, заключенного между поверхностью

и над единичным квадратом, см. на рис. 25.

Пусть V(x) – объем, ограниченный поверхностью и пятью плоскостями, а именно z = 0, y = 0, y = 1, x = 0 и плоскостью PQRS, перпендикулярной оси х и пересекающей эту ось на расстоянии х от начала координат.

Нетрудно видеть, что производная V ў(x) равна А(x), площади поперечного сечения PQRS. Таким образом,

Но А(x) – площадь под кривой

Следовательно,

где интегрирование проводится по у, а х рассматривается как постоянная. Подставляя (9) в (8), запишем V в виде повторного интеграла

В формуле (10) предполагается, что сначала проводится внутреннее интегрирование. Результат этого интегрирования, выражение [(⁵/₆) – (x²/4)], затем интегрируется по х от 0 до 1. Окончательный результат равен 3/4.

Формулу (10) можно интерпретировать и как так называемый двойной интеграл, т.е. как предел суммы объемов элементарных «клеток». Каждая такая клетка имеет основание DxDy и высоту, равную высоте поверхности над некоторой точкой прямоугольного основания (см. рис. 26). Можно показать, что обе точки зрения на формулу (10) эквивалентны. Двойные интегралы используются для нахождения центров тяжести и многочисленных моментов, встречающихся в механике.

Более строгое обоснование математического аппарата.

До сих пор мы излагали понятия и методы математического анализа на интуитивном уровне и, не колеблясь, прибегали к геометрическим фигурам. Нам осталось кратко рассмотреть более строгие методы, появившиеся в 19 и 20-м столетиях.

В начале 19 в., когда эпоха штурма и натиска в «создании математического анализа» завершилась, на первый план вышли вопросы его обоснования. В работах Абеля, Коши и ряда других выдающихся математиков были точно определены понятия «предела», «непрерывной функции», «сходящегося ряда». Это было необходимо для того, чтобы внести логический порядок в основание математического анализа с тем, чтобы сделать его надежным инструментом исследования. Потребность в тщательном обосновании стала еще более очевидной после открытия в 1872 Вейерштрассом всюду непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (график таких функций в каждой своей точке имеет излом). Этот результат произвел ошеломляющее впечатление на математиков, поскольку явно противоречил их геометрической интуиции. Еще более поразительным примером ненадежности геометрической интуиции стала построенная Д.Пеано непрерывная кривая, целиком заполняющая некоторый квадрат, т.е. проходящая через все его точки. Эти и другие открытия вызвали к жизни программу «арифметизации» математики, т.е. придания ей большей надежности путем обоснования всех математических понятий с помощью понятия числа. Почти пуританское воздержание от наглядности в работах по основаниям математики имело свое историческое оправдание.

По современным канонам логической строгости недопустимо говорить о площади под кривой y = f(x) и над отрезком оси х, даже если f – непрерывная функция, не определив предварительно точный смысл термина «площадь» и не установив, что определенная таким образом площадь действительно существует. Эта задача была успешно решена в 1854 Б.Риманом, который дал точное определение понятия определенного интеграла. С тех пор идея суммирования, стоящая за понятием определенного интеграла, была предметом многих глубоких исследований и обобщений. В результате сегодня удается придать смысл определенному интегралу, даже если подынтегральная функция является повсюду разрывной. Новые понятия интегрирования, в создание которых большой вклад внес А.Лебег (1875–1941) и другие математики, приумножили мощь и красоту современного математического анализа.

Вряд ли было бы уместно входить в детали всех этих и других понятий. Ограничимся лишь тем, что приведем строгие определения предела и определенного интеграла.

1) Число L называется пределом функции f (x) при х, стремящимся к а, если при любом сколь угодно малом числе e найдется соответствующее положительное число d, такое, что

(Вертикальные черточки означают, что мы имеем дело с абсолютной величиной заключенного между ними числа.)

2) Пусть f(x) – функция, при всех х принимающая значения из некоторого замкнутого интервала [a, b], т.е. при a Ј x Ј b. Поместим между a = x₀ и b = x_n последовательность чисел x¹, x²,..., x_n – 1, расположив их в порядке возрастания, т.е. так, чтобы

Такая процедура называется разбиением интервала [a, b]. Пусть x_k^* – любое число из замкнутого интервала [x_k – 1, x_k], k = 1, 2,..., n, и пусть Dkx = x_k – x_k – 1 – длина этого интервала. Просуммируем все произведения f(x_k^*)Dkx (k = 1, 2,..., n) и обозначим полученную сумму

Если эта сумма имеет предел L, когда n стремится к бесконечности и наибольшая длина Dkx стремится к нулю, причем L не зависит от выбора x_k^* и x_k, то L называется определенным интегралом от f(x) по [a, b] в смысле Римана и обозначается

В заключение скажем, что математический анализ, являясь крайне ценным инструментом в руках ученого и инженера, и сегодня привлекает внимание математиков как источник плодотворных идей. В то же время современное развитие как будто свидетельствует и о том, что математический анализ все более поглощается такими доминирующими в 20 в. разделами математики, как абстрактная алгебра и топология.
См. также ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ; ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.