ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Содержание статьи

• Свойства числовых последовательностей.
• Арифметическая прогрессия.
• Геометрическая прогрессия.
• Предел последовательности.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

y₃ = 3² = 9;…y_n = n²;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

y_n = f(n).

Пример. y_n= 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y₁ = 3; y_n = y_n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y₁ = 3; y₂ = 3 + 4 = 7; y₃ = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n = 4n – 1.

Пример 2. y₁ = 1; y₂ = 1; y_n = y_n–2 + y_n–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y₁ = 1; y₂ = 1; y₃ = 1 + 1 = 2; y₄ = 1 + 2 = 3; y₅ = 2 + 3 = 5; y₆ = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁ < y₂ < y₃ < … < y_n < y_n+1 < ….

Определение. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁ = 1; y_n = n²– возрастающая последовательность.

Пример 2. y₁ = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y₁ = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Арифметическая прогрессия.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {a_n}, заданная рекуррентно соотношениями

a₁ = a, a_n = a_n–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

(a и d – заданные числа).

Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 1, d = 2.

Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a₁ = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение a_nчерез n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Используя явное выражение a_nчерез n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то a_i + a_j= a_k + a_l. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить. Отсюда следует, что если рассматривать первые n членов арифметической прогрессии, то суммы членов, равно отстоящих от концов, будут одинаковы:

a₁ + a_n = a₂ + a_n–1 = a₃ + a_n–2 = … = 2_a1 + (n – 1)d.

Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n–1 + a_n.

С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:

S_n = a_n + a_n–1 + … + a₂ + a₁.

Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n–1) + … + (a_n + a₁) = n(2_a1 + (n – 1)d),

откуда . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как

a_n = a_n–1 + d;

a_n = a_n+1 – d.

Сложение двух последних равенств дает .

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b_n}, заданная рекуррентно соотношениями

b₁ = b, b_n = b_n–1q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b₁², b₂², b₃², …, b_n2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b₁², а знаменатель – q².

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

b_n = b₁q^n–1.

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b₁, b₂, b₃, …, b_n

пусть S_n – сумма ее членов, т.е.

S_n= b₁ + b₂+ b₃ + … + b_n.

Принимается, что q № 1. Для определения S_nприменяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S_nq.

Тогда

S_nq = (b₁ + b₂ + b₃+ … + b_n–1 + b_n)q = b₂ + b₃ + b₄ + …+ b_n + b_nq = S_n+ b_nq – b₁.

Таким образом, S_nq = S_n + b_nq – b₁ и, следовательно,

.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S_n = a₁n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b_n= b_n-1q;

b_n= b_n+1/q,

следовательно, b_n2= b_n–1 b_n+1 и верна следующая теорема (характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c_n} = {1/n}. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть ее предел. Записывается это так:

.

Строгое определение предела формулируется следующим образом:

Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа ε найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от ε), что для всех n ≥ N будет выполнено неравенство |a_n – A| < ε, то говорят, что последовательность {a_n} сходится и A – ее предел.

Обозначается это так: .

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c_n} = {1/n}. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

.

Существует ли такое N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N < ε? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε, то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N < ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a_n} имеет предел A, то последовательности {ca_n}, {a_n + с} и {| a_n|} имеют пределы cA, A + c, |A| соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pa_n + qb_n} имеет предел pA + qB.

Теорема 5. Если последовательности {a_n} и {b_n}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a_nb_n} имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a_n} и {b_n} имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b_n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a_n / b_n} имеет предел A/B.

Анна Чугайнова