НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ. Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.

Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n + 1),... порождает непрерывную дробь

где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

и

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2Ч1 + 3Ч3)/(2Ч1 + 3Ч2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3Ч3 + 4Ч11)/(3Ч2 + 4Ч8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные – больше x, а четные – меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x – иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n₀ – наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n₀ + (x – n₀), где x – n₀ – положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x₁ больше 1 и x = n₀ + 1/x₁. Если n₁ – наибольшее целое число, которое меньше x₁, то x₁ = n₁ + (x₁ – n₁), где x₁ – n₁ – положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x₂ больше 1, и x₁ = n₁ + 1/x₂. Если n₂ – наибольшее целое число, которое меньше x₂, то x₂ = n₂ + 1/x₃, где x₃ больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n₀, 1/n₁, 1/n₂,... непрерывной дроби, являющихся приближениями x.

Поясним сказанное на примере. Предположим, что , тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения : 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x – радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, -x²/3, -x²/7, -x²/9, ..., а если x – положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 1²x/2, 1²x/3, 2²x/4, 2²x/5, 3²x/6,... . Формальным решением дифференциального уравнения x²dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x – 1!x² + 2!x³ – 3!x⁴ +.... Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1,..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x²dy/dx + y = 1 + x.