ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Содержание статьи

• Кривые на плоскости и в пространстве.
• Поверхности в пространстве.
• Риманова геометрия.
• Дифференциальная геометрия в целом.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь – дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К.Гаусса (1777–1855), Г.Дарбу (1842–1917), Л.Бианки (1856–1928) и Л.Эйзенхарта (1876–1965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии «в малом». Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и «глобальными» свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией «в целом». Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает «метрическая» дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б.Римана (1826–1866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства.

Кривые на плоскости и в пространстве.

Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x = f (s), y = g (s), где s – натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X = F(s). См. также ВЕКТОР.

Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулой

Вектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N – единичный вектор нормали, то

Кроме того, можно показать, что

Если k задана как функция от s, например, k = f(s), то уравнения (1)–(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k = f(s) называется внутренним уравнением кривой.

Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), z = k(s) (s – натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X = F(s). Единичный вектор касательной определяется равенством

Вектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:

Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в виде

где B – единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент t в (6) – кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, что

Соотношения (5)–(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k = f (s) и t = y (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, – нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, – спрямляющей.

Поверхности в пространстве.

Дифференциальные свойства поверхностей в обычном пространстве выводятся из их первой и второй основных квадратичных форм. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями x = f (u¹, u²), y = g (u¹, u²), z = h (u¹, u²) или векторным уравнением X = F (u¹, u²). (Верхними индексами здесь нумеруются переменные.) Дифференциал длины дуги ds определяется первой основной формой, а именно

где g₁₁, g₁₂ и g₂₂ – функции от u¹ и u², определяемые выражениями

Полезно также ввести величины g^ij:

Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует).

Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формулами

Единичный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T₁ и T₂. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ¶T_i/¶u^j (i, j = 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T₁, T₂ и N:

Величины Гⁱ_jk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины [i, j, k] (символы Кристоффеля первого рода) соотношениями

где по определению

Величины b_ij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности b_ijиграют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности – непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека.

Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в виде

где g₁₁l1l1 + 2g₁₂l1l2 + g₂₂l2l2 = 1. Кривизна поверхности в направлении вектора l равна

За полуоборот вектора l кривизна k(l) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора l, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(l) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма – средней кривизной H. Эти величины определяются выражениями

и

Важную роль играют поверхности с постоянной гауссовой кривизной. При K = 0 поверхность плоская, или развертывающаяся, поскольку у нее такая же внутренняя геометрия, как у плоскости. Примерами развертывающихся поверхностей могут служить прямые круговые конусы и цилиндры. При K > 0 поверхность имеет эллиптическую неевклидову геометрию, а при K < 0 – гиперболическую неевклидову геометрию.

Гаусс доказал замечательную теорему относительно кривизны K, утверждающую, что она может быть выражена через одни лишь внутренние величины, а именно через g_ij и их производные. Это следует из того, что определитель матрицы (b_ij) равен R₁₂₁₂, где

Величина (R_lijk) называется тензором кривизны поверхности.

Риманова геометрия.

Обобщением и абстрактным вариантом только что описанной геометрии поверхности служит риманова геометрия. Она описывает n-мерное многообразие, на котором элемент длины дуги определяется формулой

в некоторой системе координат по аналогии с (8). На обычной поверхности определитель матрицы (g_ij) положителен, в римановой же геометрии предполагается лишь, что он отличен от нуля. Риманово пространство с римановой геометрией необязательно является подпространством пространства какой-нибудь более высокой размерности. Символы Кристоффеля и тензор кривизны определяются через g_ij, как и в описанном выше случае обычных поверхностей.

Секционная кривизна K₁₂ риманова пространства в точке P определяется через ориентацию, задаваемую двумя векторами l1 и l2:

Если она одинакова для всех векторов l1 и l2, то она постоянна и для всех точек P, и пространство называется пространством постоянной кривизны, скажем K, где

Свернутый тензор кривизны, определяемый выражением

играет важную роль в общей теории относительности Эйнштейна. Пространство, в котором R_ik = mg_ij, называется пространством Эйнштейна.

Дифференциальная геометрия в целом.

Наиболее фундаментальная из известных взаимосвязей между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается теоремой Гаусса – Бонне, которая утверждает, что для обычных замкнутых поверхностей

где интеграл берется по всей поверхности, K – гауссова кривизна и c – характеристика Эйлера – Пуанкаре. На произвольные замкнутые римановы пространства этот результат был распространен в 1943 К.Аллендёрфером и А.Вейлем. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ТОПОЛОГИЯ.