ЧИСЛОВОЙ РЯД

Содержание статьи

• Признаки сходимости рядов.
• Некоторые замечательные ряды.

ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {a_n} называется числовым рядом:

a1 + a2+ a3 + … + a_n+ … = .

Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности {a_n}

S1 = a1, S2= a1 + a2, …, S_n == a1 + a2 + a3 + … + a_n, …

Значения S_n называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность {S_n} последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда a_n – общий член ряда.

Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S, то есть

,

то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:

a1 + a2 + a3 + … + a_n + … = S, или = S.

В противном случае ряд называют расходящимся.

Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.

Пусть есть геометрическая прогрессия b_n = b1qⁿ–1, знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы (–1 < q < 1). Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

S_n= b1+ b1qⁿ + b1q2 + …+ b1qⁿ–1= .

Очевидно, что при |q| < 1 с ростом n значение qⁿстремится к нулю. Тогда значение S_nстремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1qⁿ + b1q2 + …=.

Признаки сходимости рядов.

Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю: .

Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда .

Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда: , однако, ряд расходится, так как частичные суммы

неограниченно возрастают.

Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признак Д'Аламбера: если существует такое положительное c < 1, что начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд сходится. Если же начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд расходится. Отсюда, в частности, следует сходимость геометрической прогрессии при знаменателе 0 < q < 1 и расходимость при q і 1.

Признак Коши: если существует такое положительное c < 1, что, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд сходится. Если же, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд расходится.

Особое место среди рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких рядов необходимый признак сходимости ряда является одновременно и достаточным, т.е., если, то ряд сходится.

Некоторые замечательные ряды.

– гармонический ряд, расходится.

Анна Чугайнова