ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Содержание статьи

• История.
• Определения.
• Аксиомы.
• Примечания к аксиомам.
• Теорема Дезарга.
• Основная теорема проективной геометрии.
• Классификация проективных соответствий на прямой.
• Коллинеации и корреляции.

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур. Отличается от евклидовой геометрии тем, что в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. Тесно связанная с перспективой, проективная геометрия плоскости занимается изучением свойств и отношений, которые остаются неизменными при проецировании плоской фигуры на другую плоскость.

Те, кто изучал только евклидову геометрию, считают очевидным факт, что две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие общий перпендикуляр, параллельны, т.е. не пересекутся, как бы далеко мы их ни продолжали. Однако если мы, например, посмотрим на железнодорожные рельсы, являющиеся параллельными прямыми, то нам безусловно покажется, что они пересекаются на горизонте. Предположив, что любые две прямые пересекаются, мы получаем систему утверждений, столь же логически непротиворечивую, как и отличная от нее система утверждений евклидовой геометрии (см. также ГЕОМЕТРИЯ; НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).

Можно было бы ожидать, что геометрия без окружностей, расстояний, углов и параллельности окажется беднее евклидовой геометрии. Этимологически кажется странным, что может существовать геометрия, не имеющая дело с измерениями (ведь само слово «геометрия» произошло от греческого слова, означающего землемерие). Но в действительности возникает очень красивая и сложная система с теоремами, о которых Евклид не мог даже помыслить, поскольку сосредоточенность на измерении увела его совсем в другую сторону. Однако сам переход от аксиом и простейших теорем к «интересным» теоремам проективной геометрии напоминает по духу, если и не в деталях, работы Евклида.

Лишь немногие из этих неметрических утверждений были известны до 1425, когда художник Брунеллески начал заниматься теорией перспективы, систематизированной несколькими годами позже в трактате Альберти. После этого было бы естественно перейти к построению проективной геометрии для трех измерений, но вскоре обнаружилось, что и двух измерений вполне достаточно, чтобы надолго привлечь внимание математиков к задачам проективной геометрии. Плоская проективная геометрия занимается изучением геометрических свойств, не меняющихся при центральном проецировании. Примером такого проецирования может служить тень от абажура лампы, падающая на стену или на пол. Обычно световое пятно имеет круглую или эллиптическую форму на полу и гиперболическую – на стене. Таким образом, в проективной геометрии нет привычного различия между окружностью, эллипсом, параболой и гиперболой; это просто конические сечения, подобные друг другу. Если художник рисует кафельный пол на вертикальном холсте, квадратные плитки уже не кажутся квадратами, т.к. их стороны и углы искажаются, но линии, на которых лежат стороны, остаются прямыми. Поэтому проективная геометрия имеет дело с треугольниками, четырехугольниками и т.д., но не с прямоугольными треугольниками, параллелограммами и т.д. См. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ.

История.

Хотя конические сечения изучали еще Менехм, Евклид, Архимед и Аполлоний в 4 и 3 вв. до н.э., первые действительно проективные теоремы были открыты Паппом Александрийским в 3 в. н.э., а самое раннее доказательство проективной теоремы, исходящее из чисто проективных свойств фигур, было предложено Ж.Понселе (1788–1867), который, находясь в русском плену после бегства Наполеона из Москвы, написал Трактат о проективных свойствах фигур. Развивая идею, высказанную ранее И.Кеплером (1571–1630), Понселе получил проективное пространство из обычного, постулировав существование «бесконечно удаленной плоскости», содержащей «бесконечно удаленную прямую» для каждого пучка параллельных плоскостей, и «бесконечно удаленную точку» для каждого пучка параллельных прямых. Это позволило утверждать, что две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке. Но для того, чтобы действительно перейти к проективной геометрии, надо уравнять в правах эти дополнительно введенные бесконечно удаленные точки с обычными. Большую роль в этом сыграли работы К. фон Штаудта (1798–1867), а последние следы зависимости от измерений устранил в 1899 М.Пьери, построивший систему аксиом проективной геометрии. Впоследствии другими авторами предлагались системы аксиом, слегка отличные от системы Пьери. Используемая нами далее система аксиом была предложена в 1910 О.Вебленом и Дж.Юнгом.

Определения.

Основными понятиями, не нуждающимися в определении, будем считать «точку», «прямую» и отношение «инцидентности». Если точка P и прямая l инцидентны, мы говорим, что точка P «лежит на» прямой l, или что прямая l «проходит через» точку P. Если прямая l проходит через две точки P и Q, то мы говорим, что l «соединяет» их, и записываем l = PQ. Если точка P лежит на прямых l и m, мы говорим, что эти прямые «пересекаются» в P, и записываем P = lЧm. Три и более точек на одной прямой называются «коллинеарными». Три и более прямых, проходящих через одну точку, называются «пересекающимися в одной точке». После введения понятия плоскости (см. ниже) мы можем использовать аналогичные термины для пространственных понятий: если плоскость a проходит через две прямые l и m, мы говорим, что она «соединяет» их, и записываем a = lm; если прямая l лежит в плоскостях a и b, мы говорим, что эти плоскости «пересекаются» по прямой l, и записываем l = aЧb.

«Треугольник» ABC состоит из трех неколлинеарных точек A, B, C, называемых его «вершинами», и трех соединяющих их прямых линий BC, CA, AB, называемых его «сторонами». «Плоскость» ABC состоит из всех точек, которые лежат на прямых, соединяющих C с точками на AB, и всех прямых, соединяющих пары построенных таким образом различных точек. Если четыре точки на плоскости соединены попарно шестью различными прямыми, то они называются вершинами «полного четырехвершинника» (рис. 1), а соответствующие прямые служат его шестью сторонами. Две стороны называются «противоположными», если они не имеют общей вершины. Точка, в которой пересекаются две противоположные стороны, называется «диагональной точкой».

Если подвижная точка X на одной фиксированной прямой и подвижная точка Xў на другой соответствуют друг другу так, что прямая XXў всегда проходит через неподвижную точку O, мы будем писать

и говорить, что между подвижными точками X и Xў или, точнее, между «областями изменения» точек X и Xў, которые являются двумя «сечениями» «пучка» прямых, проходящих через O, имеется проективное соответствие с центром в точке O. Более общо, если точки X и Xўўў на заданных (необязательно различных) прямых связаны между собой рядом последовательных перспективных соответствий

то мы записываем

и говорим, что между X и Xўўў имеется непрерывное соответствие или что X проективно отображается в Xўўў.

Точка, соответствующая самой себе, называется «инвариантной».

Аксиомы.

После этих предварительных определений мы располагаем всем необходимым для того, чтобы сформулировать следующие девять аксиом:

I. Существуют по крайней мере две различные точки.

II. Любые две различные точки A и B лежат на единственной прямой (а именно на прямой AB).

III. Если A и B – различные точки, то на прямой AB существует по крайней мере одна точка, отличная от A и B.

IV. Если A и B – различные точки, то существует по крайней мере одна точка, не лежащая на прямой AB.

V. Если A, B, C – три неколлинеарные точки и D – точка, лежащая на BC и отличная от B и C, а E – точка, лежащая на CA и отличная от C и A, то существует точка F, лежащая на AB, такая, что точки D, E, F коллинеарны.

VI. Три диагональные точки любого полного четырехвершинника неколлинеарны.

VII. Существует по крайней мере одна точка, не лежащая в плоскости ABC.

VIII. Любые две различные плоскости пересекаются по прямой.

IX. Если на прямой имеются три различных точки, каждая из которых инвариантна относительно проективного соответствия, то любая точка этой прямой также инвариантна относительно этого соответствия.

Примечания к аксиомам.

Все сказанное выше кажется интуитивно очевидным, пока мы не доходим до аксиомы V, которая исключает возможность, чтобы прямые AB и DE не пересекались в силу их параллельности. Эта аксиома позволяет определить плоскость ABC с помощью простого приема присоединения точки C ко всем точкам на прямой AB. Аксиома VI также оказывается полезной, хотя существуют некоторые странные геометрии, в которых она отрицается. Аксиома VII делает рассматриваемое пространство трехмерным, а аксиома VIII не позволяет ему стать четырехмерным. Мотивация для введения аксиомы IX станет ясна позднее.

Теорема Дезарга.

Если соответствующие вершины двух треугольников соединены прямыми, пересекающимися в одной точке, то их соответствующие стороны пересекаются в трех коллинеарных точках. Обратно, если соответствующие стороны пересекаются в коллинеарных точках, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке.

На рис. 2 вы видите эту знаменитую теорему, примененную к треугольникам PQR, PўQўRў, у которых прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в точке O. Теорема Дезарга почти очевидна, если два треугольника лежат в различных плоскостях; действительно, в этом случае точки

лежат в плоскости PQR, а также в плоскости PўQўRў; поэтому они все лежат на прямой PQRЧPўQўRў. Случай двух треугольников, лежащих в одной плоскости, сводится к предыдущему с помощью несколько более длинного рассуждения, использующего две новые точки на прямой, проходящей через O вне плоскости треугольников.

Основная теорема проективной геометрии.

Проективное соответствие между двумя прямыми (т.е. между точками этих прямых) единственным образом определяется заданием трех точек на одной прямой и соответствующих трех на другой.

Основная теорема следует из аксиомы IX, если мы установим цепочку перспективных соответствий, связывающих две заданные триады коллинеарных точек. Если две триады точек располагаются на различных прямых, как на рис. 2, то достаточно двух перспективных соответствий. Если обе триады располагаются на одной и той же прямой, то необходимо третье перспективное соответствие, чтобы создать еще одну триаду, не лежащую на той же прямой.

Проективное соответствие между различными прямыми эквивалентно одному перспективному соответствию лишь когда точка, в которой эти прямые пересекаются, инвариантна.

Классификация проективных соответствий на прямой.

Аксиома IX показывает, что проективное соответствие на одной прямой не может иметь более двух инвариантных точек; в противном случае оно вырождается в тождественное соответствие, которое сопоставляет с каждой точкой ее саму. Проективное соответствие называется «эллиптическим», «параболическим» или «гиперболическим» в зависимости от того, равно число инвариантных точек 0, 1 или 2. Если используются координаты, то инвариантные точки возникают как корни квадратных уравнений; таким образом, в комплексной геометрии эллиптические проективные соответствия не встречаются, но в действительной геометрии проективное соответствие

является эллиптическим.

Если при проективном соответствии некоторая точка X прямой переходит в точку Xў, а точка Xў переходит в X, то для любой другой точки Y, переходящей в Yў, Yў переходит в Y; такое соответствие, меняющее местами точки в любой паре переходящих друг в друга точек, называется инволюцией.

Коллинеации и корреляции.

Проективное соответствие можно описать как своего рода одномерное преобразование. Оно имеет два двумерных аналога. Коллинеация – проективное соответствие, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой. Корреляция – проективное соответствие, при котором любым трем точкам, лежащим на одной прямой, соответствуют три прямые, проходящие через одну точку, а любым трем прямым, проходящим через одну точку, соответствуют три точки, лежащие на одной прямой.