АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов – плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) – многочлен от координат x и y. Например, окружность x² + y² – 1 = 0 и кривая x³ + x² – y² = 0 – алгебраические кривые, а y – sin x = 0 – трансцендентная кривая (т.е. алгебраической кривой не является). Алгебраическое уравнение с тремя неизвестными определяет алгебраическую поверхность в пространстве. Две алгебраические поверхности пересекаются по алгебраической пространственной кривой. Понятия «алгебраическая кривая» и «алгебраическая поверхность» допускают обобщения в пространствах размерности более трех, где их аналогами служат алгебраические многообразия.

Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии – исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим). Например, прямая (уравнение первой степени) и окружность (уравнение второй степени) могут иметь самое большее две общие точки, но могут иметь и только одну общую точку (если прямая касается окружности) или ни одной.

Особая точка алгебраической плоской кривой характеризуется тем, что в ней может существовать более одной касательной. Число касательных называется кратностью точки. Например, (0,0) – особая точка кривой x³ + x² – y² = 0. Для любой кривой заданной степени существует предел числа и кратности особых точек, и многие свойства кривой определяются характером ее особых точек. Гораздо сложнее обстоит дело в случае поверхностей и других многообразий. Например, на алгебраической поверхности помимо конечного числа изолированных особых точек могут быть несколько особых кривых, т.е. кривых, каждая точка которых – особая.

Переход от кривой f (x, y) = 0 к кривой f (x, xy) = 0 характерен для процесса, известного как квадратичное преобразование. Например, уравнение x³ + x² – y² = 0 преобразуется в x³ + x² – x²y² = 0 или в x + 1 – y² = 0 после деления всех членов уравнения на x². В этом случае у преобразованной кривой нет особых точек, и можно показать, что с помощью последовательности квадратичных преобразований особые точки любой алгебраической кривой можно превратить в неособые. Квадратичное преобразование – простейшее в общем классе бирациональных преобразований. Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях. В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе.