ИЗГИБ

ИЗГИБ – один из основных видов деформации балки, когда прямолинейная балка под действием внешних нагрузок приобретает криволинейную форму. (Корни слова «балка» – немецкие и первоначально это слово означало «бревно»). Во многих конструкциях балка является основным элементом; примером являются многие типы перекрытий, мостов и т.д.

Балка как конструктивный элемент обычно или закреплена концами на соответствующих опорах, или одним концом заделана в стену, тогда как другой конец оказывается свободным (в этом случае балку называют «консоль»), рис.1 (а, б).

В некоторых местах балка взаимодействуют с другими телами; схематизируя ситуацию (рис. 2), говорят, что в известных точках к балке приложены заданные сосредоточенные силы P, Q или распределенные нагрузки интенсивности q (килоньютонов на метр).

Примером распределенных нагрузок является собственный вес балки или вес достаточно длинного постороннего тела, лежащего на балке (например, снега). Нагрузки (или их часть), направленные перпендикулярно к балке, вызывают ее изгиб; направленные вдоль балки вызывают растяжение или сжатие. Задачей теории изгиба балок является определение прогиба балки под нагрузками, а также напряжений и деформаций в материале балки, естественно, что форма, размеры, материал балки и внешние нагрузки считаются заданными. Затем, при расчете на прочность, задачу трансформируют так: каковы должны быть размеры сечения балки, чтобы при заданных нагрузках напряжения не превышали бы допустимых значений?

Теория изгиба балки была создана Я.Бернулли и Л.Эйлером на рубеже 17–18 вв. Для простоты балка заменяется отрезком прямой, причем считается, что упругие свойства этого отрезка такие же, как у исходной балки. После приложения нагрузок отрезок изгибается и становится криволинейным. Получившаяся кривая называется упругой линией или эластикой. Задача – найти ее уравнение у = f(x). Решение этой задачи основано на утверждении, что в каждой точке упругой линии ее кривизна пропорциональна изгибающему моменту внешних сил, который зависит от координаты x и обозначается M(x). Так как при малых прогибах, которые в первую очередь интересуют инженеров, кривизна кривой практически равна ее второй производной, можно записать дифференциальное уравнение:

Коэффициент пропорциональности EJ называется изгибной жесткостью, он определяет способность балки сопротивляться изгибу и равен произведению модуля упругости материала балки E на момент инерции сечения балки J, который для прямоугольного бруса выражается формулой

где b – ширина сечения, а h – высота (рис. 3,а).

Если сечение балки есть фигура F (рис. 3,б), и начало координат проходит через центр масс сечения, то

J = тт y\up122 dF

т.е. момент инерции площади F определяется как двойной интеграл по этой площади. Название «момент инерции» связано с тем, что этот интеграл в динамике твердого тела связан с инерционными характеристиками тела.

Изгибная жесткость учитывает и упругость материала, и форму и размеры сечения балки.

Изгибающий момент M(x) полностью определяется величиной и положением нагрузок и находится по правилам статики. Например, если в консольной балке, нагружаемой на конце силой P, (рис. 2), мысленно провести сечение через точку с координатой x, то момент силы P относительно точки x выражается очевидной формулой

M = Px

(система координат показана на рис. 4), при изменении расстояния сечения от конца балки момент M растет линейно; этот график называют эпюрой изгибающего момента M(x). Напряжения s в сечениях балки пропорциональны M(x):

(координата y отсчитывается вверх от центра сечения).

В качестве примера можно рассмотреть две одинаковые балки: одну – на двух шарнирных опорах, другую – консольную, нагруженные одинаковыми силами P в середине пролета и на конце соответственно. Длина балок l, сечение – прямоугольник b × h. Прогиб первой балки в середине пролета равен

Прогиб на конце второй балки равен

Для сравнения укажем, что если ту же балку растягивать силой P, то ее удлинение будет равно . Напряжения и деформации в изогнутой балке распределены таким образом, что внешние волокна растянуты, а внутренние – сжаты, причем и напряжения s, и деформации e растут пропорционально расстоянию от середины сечения балки, точнее – от нейтральной линии, где s = 0, и e = 0. Другими словами, внешние слои балки несут большую часть нагрузки, внутренние – значительно меньшую. Поэтому целесообразно так организовать форму сечения балки, чтобы большая часть материала была удалена от центра сечения. Двутавровые (т.е. в виде двойного «Т») и трубчатые сечения балок являются типичными примерами оптимальных (т.е. наилучших в некотором смысле) сечений.