ТЯГОТЕНИЕ

Содержание статьи

• Тяготение как важнейший фактор структуры Вселенной.
• История представлений о тяготении.
• Дальнодействие.
• Теория поля и относительность.
• Следствия из общей теории относительности.
• Возрождение взглядов Маха на инерцию.
• Измерение гравитационной постоянной.

ТЯГОТЕНИЕ (ГРАВИТАЦИЯ), свойство материи, которое состоит в том, что между любыми двумя частицами существуют силы притяжения. Тяготение – универсальное взаимодействие, охватывающее всю доступную наблюдению Вселенную и потому называемое всемирным. Как мы увидим из дальнейшего, тяготение играет первостепенную роль в определении структуры всех астрономических тел во Вселенной, кроме мельчайших. Оно организует астрономические тела в системы, подобные нашей Солнечной системе или Млечному Пути, и лежит в основе структуры самой Вселенной.

Под «силой тяжести» принято понимать силу, создаваемую тяготением массивного тела, а под «ускорением силы тяжести» – ускорение, создаваемое этой силой. (Слово «массивное» употребляется здесь в смысле «обладающее массой», но рассматриваемое тело не обязательно должно обладать очень большой массой.) В еще более узком смысле под ускорением силы тяжести понимают ускорение тела, свободно падающего (без учета сопротивления воздуха) на поверхность Земли. В этом случае, поскольку вся система «Земля плюс падающее тело» вращается, в действие вступают силы инерции. Центробежная сила противодействует гравитационной силе и уменьшает эффективный вес тела на малую, но доступную измерению величину. Этот эффект падает до нуля на полюсах, через которые проходит ось вращения Земли, и достигает максимума на экваторе, где поверхность Земли отстоит от оси вращения на наибольшее расстояние. В любом локально проведенном эксперименте действие этой силы неотличимо от истинной силы тяжести. Поэтому под выражением «сила тяжести на поверхности Земли» обычно понимается совместное действие истинной силы тяжести и центробежной реакции. Термин «сила тяжести» удобно распространить и на другие небесные тела, говоря, например, «сила тяжести на поверхности планеты Марс».

Ускорение силы тяжести на поверхности Земли составляет 9,81 м/с². Это означает, что любое тело, свободно падающее вблизи поверхности Земли, увеличивает свою скорость (ускоряется) на 9,81 м/с за каждую секунду падения. Если тело начинало свободное падение из состояния покоя, то к концу первой секунды оно будет иметь скорость 9,81 м/с, к концу второй – 18,62 м/с и т.д.

Тяготение как важнейший фактор структуры Вселенной.

В структуре окружающего нас мира тяготение играет чрезвычайно важную, фундаментальную роль. По сравнению с электрическими силами притяжения и отталкивания между двумя заряженными элементарными частицами тяготение очень слабо. Отношение электростатической силы к гравитационной, действующей между двумя электронами, составляет около 4Ч10⁴⁶, т.е. 4 с 46 нулями. Причина, по которой столь большой разрыв по величине не обнаруживается на каждом шагу в повседневной жизни, заключается в том, что преобладающая часть вещества в своей обычной форме электрически почти нейтральна, поскольку число положительных и отрицательных зарядов в его объеме одинаково. Поэтому огромные электрические силы объема просто не имеют возможности полностью развиться. Даже в таких «фокусах», как прилипание потертого воздушного шарика к потолку и вздыбливание волос при их расчесывании в сухой день электрические заряды разделяются лишь незначительно, но этого уже достаточно, чтобы преодолеть силы тяготения. Сила гравитационного притяжения настолько невелика, что измерить ее действие между телами обычных размеров, в лабораторных условиях, удается только при соблюдении особых предосторожностей. Например, сила гравитационного притяжения между двумя людьми массой по 80 кг, стоящих вплотную спиной друг к другу, составляет несколько десятых дины (менее 10^–5 Н). Измерения столь слабых сил затрудняются необходимостью их выделения на фоне разного рода посторонних сил, которые могут превышать измеряемую.

По мере увеличения масс гравитационные эффекты становятся все более заметными и в конце концов начинают доминировать над всеми остальными. Представим себе условия, царящие на одном из малых астероидов Солнечной системы – на шаровидной каменной глыбе радиусом 1 км. Сила тяжести на поверхности такого астероида составляет 1/15 000 силы тяжести на поверхности Земли, где ускорение свободного падения равно 9,81 м/с². Масса, весящая на поверхности Земли одну тонну, на поверхности такого астероида весила бы около 50 г. Скорость отрыва (при которой тело, двигаясь по радиусу от центра астероида, преодолевает созданное последним гравитационное поле) составила бы всего лишь 1,2 м/с, или 4 км/ч (скорость не очень быстро идущего пешехода), так что, гуляя по поверхности астероида, приходилось бы избегать резких движений и не превышать указанную скорость, чтобы не улететь навсегда в космическое пространство. Роль самогравитации растет по мере перехода ко все более крупным телам – Земле, большим планетам, вроде Юпитера, и, наконец, к звездам, например Солнцу. Так, самогравитация поддерживает сферическую форму жидкого ядра Земли и окружающей это ядро ее твердой мантии, как и земную атмосферу. Межмолекулярные силы сцепления, удерживающие вместе частицы твердых тел и жидкостей, в космических масштабах уже не эффективны, и только самогравитация позволяет существовать как единому целому таким гигантским газовым шарам, как звезды. Без гравитации этих тел просто не было бы, как не было бы и миров, пригодных для жизни.

При переходе к еще бóльшим масштабам гравитация организует отдельные небесные тела в системы. Размеры таких систем разные – от сравнительно небольших (с астрономической точки зрения) и простых систем, как, например, система Земля – Луна, Солнечная система и двойные или кратные звезды, до насчитывающих сотни тысяч звезд больших звездных скоплений. «Жизнь», или эволюцию, отдельного звездного скопления можно рассматривать как балансирование между взаимным расхождением звезд и тяготением, которое стремится удержать скопление как единое целое. Время от времени какая-нибудь звезда, двигаясь в направлении других звезд, приобретает от них импульс и скорость, позволяющие ей вылететь из скопления и навсегда покинуть его. Оставшиеся звезды образуют еще более тесное скопление, и тяготение связывает их еще сильнее, чем прежде. Тяготение помогает также удерживаться вместе в космическом пространстве газовым и пылевым облакам, а иногда даже сжимает их в компактные и более или менее шарообразные сгустки материи. Темные силуэты многих таких объектов можно наблюдать на более ярком фоне Млечного Пути. Согласно принятой сегодня теории формирования звезд, если масса такого объекта достаточно велика, то давление в его недрах достигает уровня, при котором становятся возможными ядерные реакции, и плотный сгусток материи превращается в звезду. Астрономам удалось получить снимки, подтверждающие образование звезд в тех местах космического пространства, где ранее наблюдались только облака материи, что свидетельствует в пользу существующей теории.

Тяготение играет важнейшую роль во всех теориях происхождения, развития и строения Вселенной в целом. Почти все они опираются на общую теорию относительности. В этой теории, созданной Эйнштейном в начале 20 в., тяготение рассматривается как свойство четырехмерной геометрии пространства-времени, как нечто подобное кривизне сферической поверхности, обобщенной на большее число измерений. «Искривленность» пространства-времени тесно связана с распределением находящейся в нем материи.

Во всех космологических теориях принимается, что тяготение – свойство любого вида материи, проявляющееся повсюду во Вселенной, хотя отнюдь не предполагается, что создаваемые тяготением эффекты везде одни и те же. Например, гравитационная постоянная G (о которой мы расскажем дальше) в зависимости от места и времени может изменяться, хотя прямых данных наблюдения, которые подтверждали бы это, пока нет. Гравитационная постоянная G – одна из физических констант нашего мира, равно как скорость света либо электрический заряд электрона или протона. С той точностью, с которой позволяют измерить эту постоянную современные экспериментальные методы, ее значение не зависит от того, какой разновидностью материи создано тяготение. Существенна только масса. Массу можно понимать двояко: как меру способности притягивать другие тела, – это свойство имеют в виду, когда говорят о тяжелой (гравитационной) массе, – или как меру сопротивления тела попыткам его ускорить (привести в движение, если тело покоится, остановить, если тело движется, или изменить его траекторию), – это свойство массы имеют в виду, когда говорят об инертной массе. Интуитивно эти две разновидности массы не кажутся одним и тем же свойством материи, однако общая теория относительности постулирует их тождество и строит картину мира, исходя из этого постулата.
См. также МАССА.

Тяготение имеет и еще одну особенность; по-видимому, не существует никакого мыслимого способа избавиться от эффектов гравитации, кроме как удалиться на бесконечно большое расстояние от всякой материи. Ни одно известное вещество не обладает отрицательной массой, т.е. свойством быть отталкиваемым полем тяготения. Даже антиматерия (позитроны, антипротоны и т.п.) имеет положительную массу. От гравитации невозможно избавиться с помощью некоего экрана, как от электрического поля. Во время лунных затмений Луна «заслоняется» Землей от притяжения Солнца, и эффект от такой экранировки накапливался бы от одного затмения к другому, но этого нет.

История представлений о тяготении.

Как показано выше, тяготение – одно из наиболее распространенных взаимодействий материи с материей и в то же время одно из наиболее таинственных и загадочных. К объяснению феномена тяготения современные теории сколько-нибудь существенно не приблизились.

Тем не менее тяготение всегда явно или неявно переплеталось с космологией, так что оба эти предмета неразделимы. Первые космологии, такие, как космологии Аристотеля и Птолемея, просуществовавшие вплоть до 18 в. во многом благодаря авторитету этих мыслителей, вряд ли были чем-нибудь бóльшим, чем систематизацией наивных взглядов древних. В этих космологиях материя подразделялась на четыре класса, или «элемента»: землю, воду, воздух и огонь (в порядке от тяжелого к легкому). Слова «сила тяжести» первоначально означали просто «тяжесть»; объекты, состоявшие из элемента «земля», обладали свойством «тяжести» в большей степени, чем объекты, состоявшие из других элементов. Естественным местоположением тяжелых объектов был центр Земли, которая считалась центром мироздания. Наименее других «тяжестью» наделен был элемент «огонь»; более того, огню была присуща своего рода отрицательная тяжесть, действие которой проявлялось не в тяготении, а в «левитации». Естественным местом для огня были внешние границы земной части мира. В последних вариантах этой теории постулировалось существование пятой сущности («квинтэссенции», иногда называемой «эфиром», которая была свободна от эффектов тяжести). Постулировалось также, что из квинтэссенции состоят небесные тела. Если земное тело каким-то образом оказывалось не на своем естественном месте, то оно стремилось вернуться туда путем естественного движения, свойственного ему точно так же, как животному свойственно целенаправленное передвижение с помощью ног или крыльев. Сказанное относится к движению камня в пространстве, пузырька в воде и пламени в воздухе.

Галилей (1564–1642), исследуя движение тел под действием силы тяжести, обнаружил, что период колебаний маятника не зависит от того, велико или мало было первоначальное отклонение маятника от положения равновесия. Галилей экспериментально установил также, что в отсутствие сопротивления воздуха тяжелые и легкие тела падают на землю с одинаковым ускорением. (Аристотель утверждал, что тяжелые тела падают быстрее легких, причем тем быстрее, чем они тяжелее.) Наконец, Галилей высказал идею о постоянстве ускорения свободного падения и сформулировал утверждения, которые по существу являются предшественниками законов движения Ньютона. Именно Галилей первым понял, что для тела, на которое не действуют силы, равномерное прямолинейное движение столь же естественно, как и состояние покоя.

Объединить разрозненные фрагменты и построить логичную и непротиворечивую теорию выпало на долю блестящего английского математика И.Ньютона (1643–1727). Эти разрозненные фрагменты были созданы усилиями многих исследователей. Здесь и гелиоцентрическая теория Коперника, воспринятая Галилеем, Кеплером и другими как подлинная физическая модель мира; и подробные и точные астрономические наблюдения Браге; и концентрированное выражение этих наблюдений в трех законах движения планет Кеплера; и начатая Галилеем работа по формулировке законов механики на основе четко определенных понятий, а также гипотезы и частичные решения проблем, найденные такими современниками Ньютона, как Х.Гюйгенс, Р.Гук и Э.Галлей. Чтобы осуществить свой величественный синтез, Ньютону понадобилось завершить создание новой математики, получившей название дифференциального и интегрального исчислений. Параллельно с Ньютоном над созданием дифференциального и интегрального исчислений независимо работал его современник Г.Лейбниц.

Хотя принадлежащий Вольтеру анекдот о яблоке, упавшем на голову Ньютона, скорее всего, не соответствует действительности, тем не менее он в какой-то мере характеризует тот тип мышления, который был продемонстрирован Ньютоном в его подходе к проблеме тяготения. Ньютон настойчиво задавался вопросами: «Является ли сила, удерживающая Луну на ее орбите при движении вокруг Земли, той же самой силой, которая заставляет тела падать на земную поверхность? Сколь интенсивным должно быть земное тяготение, чтобы искривить орбиту Луны так, как это происходит в действительности?» Чтобы найти ответ на эти вопросы, Ньютону необходимо было прежде всего дать определение понятия силы, которое охватывало бы и фактор, вызывающий отклонение тела от исходной траектории движения, а не просто ускорение или замедление при движении вверх или вниз. Ньютону было необходимо также точно знать размеры Земли и расстояние от Земли до Луны. Он предполагал, что притяжение, создаваемое земным тяготением, убывает с увеличением расстояния от притягивающего тела как обратный квадрат расстояния, т.е. при увеличении расстояния. Истинность такого заключения для круговых орбит легко может быть выведена из законов Кеплера без обращения к дифференциальному исчислению. Наконец, когда в 1660-х годах Пикар произвел геодезическую съемку северных областей Франции (одну из первых геодезических съемок), он смог уточнить значение длины одного градуса широты на земной поверхности, что позволило точнее определить размеры Земли и расстояние от Земли до Луны. Измерения Пикара еще более укрепили Ньютона во мнении, что он находится на правильном пути. Наконец, в 1686–1687 в ответ на запрос незадолго до того образованного Королевского общества Ньютон опубликовал свои знаменитые Математические начала натуральной философии (Philosophiae naturalis principia mathematica), ознаменовавшие рождение современной механики. В этой работе Ньютон сформулировал свой знаменитый закон всемирного тяготения; в современных алгебраических обозначениях этот закон выражается формулой

где F – сила притяжения между двумя материальными телами с массами М₁ и М₂, а R – расстояние между этими телами. Коэффициент G называется гравитационной постоянной. В метрической системе масса измеряется в килограммах, расстояние – в метрах, а сила – в ньютонах и гравитационная постоянная G имеет значение G = 6,67259Ч10^–11 м³Чкг^–1Чс^–2. Малостью гравитационной постоянной и объясняется то, что гравитационные эффекты становятся заметными только при большой массе тел.

Методами математического анализа Ньютон показал, что сферическое тело, например Луна, Солнце или планета, создает тяготение так же, как и материальная точка, которая находится в центре сферы и имеет эквивалентную ей массу. Дифференциальное и интегральное исчисления позволили и самому Ньютону, и его последователям успешно решить новые классы задач, например обратную задачу определения силы по неравномерному или криволинейному движению тела, движущегося под ее воздействием; предсказать скорость и положение тела в любой момент времени в будущем, если известна сила как функция положения; решить задачу о полной силе притяжения любого тела (не обязательно сферической формы) в любой заданной точке пространства. Новые мощные математические средства открыли путь к решению многих сложных, прежде неразрешимых задач не только для гравитационного, но и для других полей.

Ньютон показал также, что из-за 24-часового периода вращения вокруг собственной оси Земля должна иметь не строго сферическую, а несколько сплющенную форму. Следствия, вытекающие из исследований Ньютона в этой области, ведут нас в область гравиметрии – науки, занимающейся измерением и интерпретацией силы тяжести на поверхности Земли.

Дальнодействие.

Однако в ньютоновских Началах имеется пробел. Дело в том, что, определив силу тяжести и дав описывающее ее математическое выражение, Ньютон не объяснил, что такое тяготение и как оно действует. Вопросы, которые вызывали и продолжают вызывать множество споров с 18 в. до последнего времени, заключается в следующем: каким образом тело, находящееся в одном месте (например, Солнце), притягивает тело (например, Землю), находящееся в другом месте, если между телами нет никакой материальной связи? Как быстро распространяются гравитационные эффекты? Мгновенно? Со скоростью света и других электромагнитных колебаний или с какой-нибудь другой скоростью? Ньютон не верил в возможность дальнодействия, он просто проводил вычисления так, как если бы закон обратной пропорциональности квадрату расстояния был признанным фактом. Многие, в том числе Лейбниц, епископ Беркли и последователи Декарта, соглашались с ньютоновской точкой зрения, но пребывали в убеждении, что явления, оторванные в пространстве от вызывающих их причин, немыслимы без какого-нибудь физического агента-посредника, замыкающего причинно-следственную связь между ними.

Позднее все эти и другие вопросы перешли по наследству к аналогичным теориям, объяснявшим распространение света. Светоносная среда получила название эфира, и, следуя более ранним философам, в частности Декарту, физики пришли к заключению, что гравитационные (а также электрические и магнитные) силы передаются как своего рода давление в эфире. И лишь когда все попытки сформулировать непротиворечивую теорию эфира оказались безуспешными, стало ясно, что хотя эфир и давал ответ на вопрос о том, как осуществляется действие на расстоянии, этот ответ не был правильным.

Теория поля и относительность.

Собрать воедино разрозненные фрагменты теорий, изгнать эфир и постулировать, что в действительности не существует ни абсолютного пространства, ни абсолютного времени, поскольку ни один эксперимент не подтверждает их существования, выпало на долю А.Эйнштейна (1879–1955). В этом его роль была аналогична роли Ньютона. Для создания своей теории Эйнштейну, как некогда Ньютону, понадобилась новая математика – тензорный анализ.

То, что Эйнштейну удалось сделать, до некоторой степени является следствием нового образа мыслей, формировавшегося на протяжении 19 в. и связанного с появлением понятия поля. Поле в том смысле, в каком употребляет этот термин современный физик-теоретик, есть область идеализированного пространства, в котором посредством указания некоторой системы координат задаются положения точек вместе с зависящей от этих положений физической величиной или некоторой совокупностью величин. При переходе от одной точки пространства к другой, соседней, она должна гладко (непрерывно) убывать или возрастать, а также может изменяться со временем. Например, скорость воды в реке изменяется как с глубиной, так и от берега к берегу; температура в комнате выше у печки; интенсивность (яркость) освещения убывает при увеличении расстояния от источника света. Все это – примеры полей. Физики считают поля реальными вещами. В подтверждение своей точки зрения они ссылаются на физический довод: восприятие света, тепла или электрического заряда столь же реально, как и восприятие физического объекта, в существовании которого все убеждены на том основании, что его можно осязать, ощутить его тяжесть или видеть. Кроме того, эксперименты, например, с рассыпанными железными опилками вблизи магнита, их выстраивание вдоль определенной системы искривленных линий делают магнитное поле непосредственно воспринимаемым до такой степени, что никто не усомнится, что вокруг магнита есть «нечто» и после того, как убраны железные опилки. Магнитные «силовые линии», как назвал их Фарадей, образуют магнитное поле.

До сих пор мы избегали упоминаний о гравитационном поле. Ускорение свободного падения g на поверхности Земли, которое меняется от точки к точке на земной поверхности и убывает с высотой, и есть такое поле. Но огромный шаг вперед, который совершил Эйнштейн, состоял не в манипулировании с гравитационным полем нашего повседневного опыта.

Вместо того чтобы следовать Фицджеральду и Лоренцу и рассматривать взаимодействие между вездесущим эфиром и движущимися сквозь него измерительными стержнями и часами, Эйнштейн ввел физический постулат, согласно которому любой наблюдатель А, измеряющий скорость света с помощью мерных стержней и часов, которые он носит с собой, неизменно получит один и тот же результат c = 3Ч10⁸ м/с независимо от того, как быстро движется наблюдатель; мерные стержни любого другого наблюдателя В, движущегося относительно А со скоростью v, будут выглядеть для наблюдателя А сокращенными в раз; часы наблюдателя В будут выглядеть для наблюдателя А идущими медленнее в раз; отношения между наблюдателями А и В в точности взаимны, поэтому мерные стержни наблюдателя А и его часы будут для наблюдателя В соответственно столь же более короткими и идущими медленнее; каждый из наблюдателей может считать себя неподвижным, а другого движущимся. Еще одно следствие из частной (специальной) теории относительности состояло в том, что масса m тела, движущегося со скоростью v относительно наблюдателя, увеличивается (для наблюдателя) и становится равной , где m₀ – масса того же тела, движущегося относительно наблюдателя очень медленно. Увеличение инертной массы движущегося тела означало, что не только энергия движения (кинетическая энергия), но и вся энергия обладает инертной массой и что если энергия обладает инертной массой, то она обладает и тяжелой массой и, следовательно, подвержена гравитационным эффектам. Кроме того, как ныне хорошо известно, при определенных условиях в ядерных процессах масса может превращаться в энергию. (Вероятно, точнее было бы говорить о высвобождении энергии.) Если принятые допущения верны (а ныне для такой уверенности у нас имеются все основания), то, стало быть, масса и энергия – различные аспекты одной и той же более фундаментальной сущности.

Приведенная выше формула указывает также на то, что ни одно материальное тело и ни один несущий энергию объект (например, волна), не могут двигаться относительно наблюдателя быстрее, чем со скоростью света с, т.к. в противном случае для такого движения потребовалась бы бесконечно большая энергия. Следовательно, гравитационные эффекты должны распространяться со скоростью света (доводы в пользу этого приводились еще до создания теории относительности). Примеры таких гравитационных явлений позднее были обнаружены и вошли в общую теорию.

В случае равномерного и прямолинейного относительного движения наблюдаемые сокращения мерных стержней и замедление хода часов приводят к частной теории относительности. Позднее понятия этой теории были обобщены и на ускоренное относительное движение, для чего потребовалось ввести еще один постулат – так называемый принцип эквивалентности, позволивший включить в модель гравитацию, отсутствовавшую в частной теории относительности.

Долгое время считалось, а очень тщательные измерения, произведенные в конце 19 в. венгерским физиком Л.Этвешем, подтвердили, что в пределах ошибки эксперимента тяжелая и инертная массы численно равны. (Напомним, что тяжелая масса тела служит мерой силы, с которой это тело притягивает другие тела, тогда как инертная масса есть мера сопротивления тела ускорению.) В то же время ускорение свободно падающих тел не было бы совершенно независимым от их массы, если бы инертная и тяжелая массы тела не были абсолютно равны. Эйнштейн постулировал, что эти две разновидности массы, которые кажутся разными, поскольку измеряются в разных экспериментах, в действительности одно и то же. Отсюда тотчас же следовало, что не существует физического различия между силой тяжести, которую мы ощущаем подошвами своих ног, и силой инерции, которая отбрасывает нас к спинке кресла, когда автомашина ускоряется, или бросает нас вперед, когда мы жмем на тормоза. Мысленно представим себе (как это сделал Эйнштейн) замкнутое помещение, например лифт или космический корабль, внутри которого можно изучать движение тел. В космическом пространстве, на достаточно большом расстоянии от любой массивной звезды или планеты, чтобы их притяжение не влияло на тела в этом замкнутом помещении, любой выпущенный из рук предмет не упал бы на пол, а продолжал бы парить в воздухе, двигаясь в том же направлении, в котором двигался, когда его выпустили из рук. Все предметы обладали бы массой, но не имели бы веса. В гравитационном поле вблизи поверхности Земли тела обладают и массой, и весом. Если вы выпустите их из рук, они падают на землю. Но если бы, например, лифт падал свободно, не встречая никакого сопротивления, то предметы в лифте казались бы невесомыми наблюдателю, находящемуся в лифте, и если бы он выпускал из рук какие-нибудь предметы, то они не падали бы на пол. Результат был бы таким же, как если бы все происходило в космическом пространстве вдали от притягивающих тел, и ни один эксперимент не мог бы показать наблюдателю, что он находится в состоянии свободного падения. Выглянув в иллюминатор и увидев где-то далеко внизу под собой Землю, наблюдатель мог бы сказать, что Земля несется навстречу ему. Однако с точки зрения наблюдателя на Земле и лифт, и все предметы в нем падают одинаково быстро, поэтому падающие предметы не отстают и не опережают лифт, а потому и не приближаются к его полу, в сторону которого они падают.

Теперь представим себе космический корабль, поднимаемый ракетой-носителем в космос со все возрастающей скоростью. Если космонавт в корабле выпустит предмет из рук, то предмет (как и прежде) будет продолжать двигаться в пространстве с той скоростью, с которой он был выпущен, но, поскольку теперь пол космического корабля движется ускоренно навстречу предмету, все будет выглядеть так, как если бы предмет падал. Более того, космонавт ощущал бы действующую на ноги силу и мог бы интерпретировать ее как силу тяжести, и ни один эксперимент, который он мог бы выполнить, находясь в поднимающемся космическом корабле, не противоречил бы такой интерпретации.

Эйнштейновский принцип эквивалентности просто уравнивает эти две кажущиеся совершенно различными ситуации и утверждает, что сила тяжести и силы инерции – одно и то же. Главное отличие состоит в том, что в достаточно большой области силу инерции (например, центробежную) можно исключить путем подходящего преобразования системы отсчета (например, центробежная сила действует только во вращающейся системе координат, и ее можно исключить, перейдя к невращающейся системе отсчета). Что же касается силы тяжести, то перейдя к другой системе отсчета (свободно падающей), от нее можно избавиться только локально. Мысленно представляя себе всю Землю целиком, мы предпочитаем считать ее неподвижной, полагая, что на тела, находящиеся на поверхности Земли, действуют гравитационные силы, а не силы инерции. В противном случае нам пришлось бы считать, что поверхность Земли во всех своих точках ускорена вовне и что Земля, расширяясь, как надуваемый воздушный шарик, давит на ступни наших ног. Такая точка зрения, вполне приемлемая с точки зрения динамики, неверна с точки зрения обычной геометрии. Однако в рамках общей теории относительности обе точки зрения одинаково приемлемы.

Геометрия, возникающая в результате измерения длин и временных интервалов, свободно преобразуемых из одной ускоренно движущейся системы отсчета в другую, оказывается криволинейной геометрией, очень похожей на геометрию сферических поверхностей, но обобщенной на случай четырех измерений – трех пространственных и одного временного – точно так же, как в частной теории относительности. Кривизна, или деформация, пространства-времени – не просто оборот речи, а нечто большее, так как определяется способом измерения расстояний между точками и продолжительностью временных интервалов между событиями в этих точках. То, что кривизна пространства-времени является реальным физическим эффектом, лучше всего можно продемонстрировать на нескольких примерах.

Согласно теории относительности, луч света, проходя вблизи большой массы, искривляется. Так происходит, например, с лучом света от далекой звезды, проходящим вблизи края солнечного диска. Но и искривленный луч света продолжает оставаться кратчайшим расстоянием от звезды до глаза наблюдателя. Это утверждение верно в двояком смысле. В традиционных обозначениях релятивистской математики отрезок прямой dS, разделяющий две соседние точки, вычисляется по теореме Пифагора обычной евклидовой геометрии, т.е. по формуле dS² = dx² + dy² + dz². Точка пространства вместе с моментом времени называется событием, а расстояние в пространстве-времени, разделяющее два события, – интервалом. Чтобы определить интервал между двумя событиями, временнóе измерение t комбинируется с тремя пространственными координатами x, y, z следующим образом. Разность времен между двумя событиями dt преобразуется в пространственное расстояние сЧdt умножением на скорость света с (постоянную для всех наблюдателей). Полученный результат должен быть совместим с преобразованием Лоренца, из которого следует, что мерный стержень движущегося наблюдателя сокращается, а часы замедляют свой ход соответственно выражению. Преобразование Лоренца должно быть применимо и в предельном случае, когда наблюдатель движется вместе со световой волной и его часы стоят (т.е. dt = 0), а сам он не считает себя движущимся (т.е. dS = 0), так что

(Интервал)² = dS² = dx² + dy² + dz² – (cЧdt)².

Основная особенность этой формулы состоит в том, что знак временнóго члена противоположен знаку пространственных членов. Далее, вдоль светового луча для всех наблюдателей, движущихся вместе с лучом, имеем dS² = 0 и, согласно теории относительности, все остальные наблюдатели должны были бы получить такой же результат. В этом первом (пространственно-временном) смысле dS – минимальное пространственно-временное расстояние. Но во втором смысле, поскольку свет распространяется по пути, требующему наименьшего времени для достижения конечного пункта по любым часам, численные значения пространственного и временного интервалов минимальны для светового луча.

Все изложенные выше рассуждения относятся к событиям, разделенным лишь малыми расстояниями и временами; иначе говоря, dx, dy, dz и dt – малые величины. Но результаты могут быть легко обобщены на протяженные траектории методом интегрального исчисления, суть которого в суммировании по всему пути от точки к точке всех этих бесконечно малых интервалов.

Рассуждая далее, мысленно представим себе пространство-время разделенным на четырехмерные ячейки подобно тому, как двумерная карта разделена на двумерные квадраты. Сторона такой четырехмерной ячейки равна единице времени или расстояния. В пространстве, свободном от поля, сетка состоит из прямых, пересекающихся под прямым углом, но в гравитационном поле вблизи массы линии сетки искривляются, хотя также пересекаются под прямыми углами, как параллели и меридианы на глобусе. При этом искривленными линии сетки выглядят только для внешнего наблюдателя, число измерений которого больше числа измерений сетки. Мы существуем в трехмерном пространстве и, глядя на карту или схему, можем воспринимать ее трехмерно. Субъект же, находящийся в самой этой сетке, например микроскопическое существо на глобусе, не имеющее представления о том, что такое вверх или вниз, не может воспринимать кривизну глобуса непосредственно и должно было бы произвести измерения и посмотреть, какого рода геометрия возникает из всей совокупности результатов измерений – будет ли это евклидова геометрия, соответствующая плоскому листу бумаги, или криволинейная геометрия, соответствующая поверхности сферы или какой-либо другой искривленной поверхности. Точно так же мы не можем видеть кривизну окружающего нас пространства-времени, но, анализируя результаты своих измерений, можем обнаружить особые геометрические свойства, в точности аналогичные реальной кривизне.

Теперь представим себе огромный треугольник в свободном пространстве, сторонами которого служат три прямые. Если внутрь такого треугольника поместить массу, то пространство (т.е. выявляющая его геометрическую структуру четырехмерная координатная сетка) слегка раздуется так, что сумма внутренних углов треугольника станет больше, чем в отсутствие массы. Аналогично можно представить себе в свободном пространстве гигантскую окружность, длину и диаметр которой вы очень точно измерили. Вы обнаружили, что отношение длины окружности к диаметру равно числу p (если свободное пространство евклидово). Поместите в центр окружности большую массу и повторите измерения. Отношение длины окружности к диаметру станет меньше p, хотя мерный стержень (если рассматривать его с некоторого расстояния) будет выглядеть сократившимся и тогда, когда его укладывают вдоль окружности, и тогда, когда его укладывают вдоль диаметра, но сами величины сокращений будут разными.

В криволинейной геометрии кривая, соединяющая две точки и кратчайшая среди всех кривых такого рода, называется геодезической. В четырехмерной криволинейной геометрии общей теории относительности траектории световых лучей образуют один класс геодезических. Оказывается, что траектория любой свободной частицы (на которую не действует какая-либо контактная сила) также представляет собой геодезическую, но более общего класса. Например, планета, свободно движущаяся по своей орбите вокруг Солнца, движется по геодезической так же, как и свободно падающий лифт в рассмотренном ранее примере. Геодезические являются пространственно-временными аналогами прямых линий ньютоновской механики. Тела просто движутся по своим естественным криволинейным траекториям – линиям наименьшего сопротивления, – так что отпадает необходимость в обращении к «силе» для объяснения такого поведения тела. На тела же, находящиеся на поверхности Земли, действует контактная сила непосредственного соприкосновения с Землей, и с этой точки зрения можно считать, что Земля сталкивает их с геодезических орбит. Следовательно, траектории тел на поверхности Земли не являются геодезическими.

Итак, тяготение свелось к геометрическому свойству физического пространства, и гравитационное поле оказалось замененным «метрическим полем». Как и другие поля, метрическое поле представляет собой набор чисел (всего их десять), изменяющихся от точки к точке и в совокупности описывающих локальную геометрию. По этим числам, в частности, можно определить, как и в каком направлении искривлено метрическое поле.

Следствия из общей теории относительности.

Еще одним предсказанием общей теории относительности, вытекающим из принципа эквивалентности, является так называемое гравитационное красное смещение, т.е. уменьшение частоты излучения, идущего к нам из области с более низким гравитационным потенциалом. Хотя в литературе встречаются многочисленные предположения о том, что свет, претерпевший красное смещение, был испущен с поверхности сверхплотных звезд, убедительных доказательств тому все же нет, и вопрос остается открытым. Эффект такого смещения действительно наблюдался в лабораторных условиях – между вершиной и основанием башни. В этих экспериментах были использованы гравитационное поле Земли и строго монохроматическое гамма-излучение, испускаемое атомами, связанными в кристаллической решетке (эффект Мёссбауэра). Для объяснения этого явления проще всего обратиться к гипотетическому лифту, в котором наверху помещен источник света, а внизу – приемник, или наоборот. Наблюдаемое смещение в точности совпадает со сдвигом Доплера, соответствующим дополнительной скорости приемника в момент прихода сигнала по сравнению со скоростью источника в момент испускания сигнала. Эта дополнительная скорость обусловлена ускорением за то время, пока сигнал находится в пути.

Еще одно, причем почти сразу признанное предсказание общей теории относительности касается движения планеты Меркурий вокруг Солнца (и, в меньшей степени, движения других планет). Перигелий орбиты Меркурия, т.е. точка на его орбите, в которой планета находится ближе всего к Солнцу, смещается на 574І за столетие, совершая полный оборот за 226 000 лет. Ньютоновская механика, учитывая гравитационное действие всех известных планет, смогла объяснить смещение перигелия лишь на 532І в столетие. Разность в 42 угловые секунды, хотя и мала, все же гораздо больше любой возможной погрешности, и мучила астрономов на протяжении почти целого века. Общая теория относительности почти точно предсказала этот эффект.

Возрождение взглядов Маха на инерцию.

Э.Мах (1838–1916), как и младший современник Ньютона Беркли, неоднократно задавал себе вопросы: «Чем объясняется инерция? Почему при вращении тела возникает центробежная реакция?» В поисках ответа на эти вопросы Мах высказал предположение, что инерция обусловлена гравитационной связанностью Вселенной. Каждая частица материи объединена со всей остальной материей во Вселенной гравитационными связями, интенсивность которых пропорциональна ее массе. Поэтому, когда приложенная к частице сила ее ускоряет, гравитационные связи Вселенной в целом сопротивляются этой силе, создавая равную по величине и противоположную по направлению силу инерции. В более позднее время поднятый Махом вопрос возродился и приобрел новый поворот: если не существует ни абсолютного движения, ни абсолютного линейного ускорения, то нельзя ли исключить и абсолютное вращение? Положение вещей таково, что вращение относительно внешнего мира можно обнаружить в изолированной лаборатории без непосредственного обращения к внешнему миру. Это позволяют сделать центробежные силы (вынуждающие поверхность воды во вращающемся ведре принимать вогнутую форму) и кориолисовы силы (создающие кажущуюся кривизну траектории тела во вращающейся системе координат. Конечно, представить себе небольшое вращающееся тело несравненно проще, чем вращающуюся Вселенную. Но вопрос вот в чем: если бы остальная часть Вселенной исчезла, то как мы могли бы судить, вращается ли некое тело «абсолютно»? Осталась бы поверхность воды в ведре вогнутой? Создавал бы вращающийся груз натяжение веревки? Мах считал, что ответы на эти вопросы должны быть отрицательными. Если тяготение и инерция взаимосвязаны, то можно было бы ожидать, что изменения в плотности или распределении удаленной материи каким-то образом скажутся на значении гравитационной постоянной G. Например, если Вселенная расширяется, то величина G должна медленно изменяться со временем. Изменение величины G могло бы сказаться на периодах колебаний маятника и обращения планет вокруг Солнца. Такие изменения можно обнаружить только путем измерения временных интервалов с помощью атомных часов, ход которых не зависит от G.

Измерение гравитационной постоянной.

Экспериментальное определение гравитационной постоянной G позволяет установить мост между теоретическими и абстрактными аспектами тяготения как универсального атрибута материи и более земным вопросом ее локализации и оценки массы материи, создающей гравитационные эффекты. Последнюю операцию иногда называют взвешиванием. С точки зрения теории мы уже видели, что G – одна из фундаментальных постоянных природы и поэтому имеет первостепенное значение для физической теории. Но величина G должна быть известна и в том случае, если мы хотим обнаружить и «взвесить» материю на основании того гравитационного действия, которое она создает.

По закону всемирного тяготения Ньютона ускорение любого пробного тела в гравитационном поле другого тела с массой m дается формулой g = Gm/r², где r – расстояние от тела с массой m. В астрономические уравнения движения множители G и m входят только в виде произведения Gm, но никогда не входят по отдельности. Это означает, что массу m, создающую ускорение, можно оценить только в том случае, если известна величина G. Но исходя из отношений масс, можно, сравнивая производимые ими ускорения, выразить массы планет и Солнца в земных массах. Действительно, если два тела создают ускорения g₁ и g₂, то отношение их масс равно m₁/m₂ = g₁r₁²/g₂r₂². Это позволяет выражать массы всех небесных тел через массу какого-нибудь одного выбранного тела, например Земли. Такая процедура равнозначна выбору массы Земли в качестве эталона массы. Чтобы перейти от этой процедуры к системе единиц сантиметр–грамм–секунда, нужно знать массу Земли в граммах. Если она известна, то можно вычислить G, найдя произведение Gm из любого уравнения, описывающего создаваемые Землей гравитационные эффекты (например, движение Луны или искусственного спутника Земли, колебания маятника, ускорение тела при свободном падении). И наоборот, если G можно измерить независимо, то произведение Gm, входящее во все уравнения движения небесных тел, даст массу Земли. Эти соображения позволили экспериментально оценить G. Примером может служить знаменитый эксперимент Кавендиша с торсионными весами, проведенный в 1798. Установка состояла из двух небольших масс на концах уравновешенного стержня, прикрепленного посередине к длинной нити торсионного подвеса. Две другие, более крупные массы закреплены на вращающейся подставке так, что их можно подвести к малым массам. Притяжение, действующее со стороны бóльших масс на меньшие, хотя и намного слабее притяжения такой большой массы, как Земля, поворачивает стержень, на котором закреплены малые массы, и закручивает нить подвеса на угол, который можно измерить. Подведя затем бóльшие массы к меньшим с другой стороны (чтобы направление притяжения изменилось), можно удвоить смещение и тем самым повысить точность измерения. Модуль упругости при кручении нити предполагается известным, так как его легко можно измерить в лаборатории. Поэтому, измерив угол закручивания нити, можно вычислить силу притяжения между массами.