АКСИОМА

АКСИОМА – принцип или положение, принимаемое без доказательств за истинное. Термин «аксиома» использовался как до Евклида, так и после него, но сам Евклид употреблял выражение «общая идея», т.е. идея, принимаемая всеми за истинную, понимая под этим аксиому абстрактного содержания, а также термин «требование» (лат. postulatum), т.е. утверждение, имеющее конкретное геометрическое содержание, которое требуется принять без доказательства ради последующего рассуждения, воздерживаясь от его оценки. Такое различие сохранилось ныне только в элементарной математике. Что же касается высших разделов математики, то здесь термин «постулат» используется почти исключительно в смысле допущения чисто логического содержания.

Хотя несовершенство постулатов Евклида было осознано довольно давно, считалось, что они тем не менее правильно описывают свойства пространства в рамках человеческого опыта. Дж.Саккери (1667–1733) пытался доказать постулат о параллельных (через точку P, лежащую вне прямой L, можно провести одну и только одну прямую, параллельную L); Н.И.Лобачевский (1792–1856) и Я.Бойяи (1802–1860) независимо друг от друга создали другую геометрию, предположив, что через точку P можно провести более одной прямой, параллельной прямой L; Б.Риман (1826–1866) создал еще одну геометрию, предположив, что всякая прямая, проходящая через точку P, пересекается с прямой L. В 1882 М.Паш предложил первую евклидову геометрию, выведенную из постулатов без определения таких элементов, как точка, прямая и плоскость. В 1888 Д.Пеано начал публикацию результатов предпринятых им попыток сведения всей математики к абстрактным системам, выводимым из явно сформулированных постулатов, записанных с помощью точной символики и использующих минимальное число неопределяемых терминов. В 1899 Д.Гильберт опубликовал свои Основания геометрии, в которых евклидова геометрия была изложена как чисто формальная абстрактная система, выводимая из явно сформулированных постулатов относительно никак более не определяемых терминов.

Так в математике началась эпоха постулатов. Ныне существуют постулаты геометрии (евклидовой или неевклидовой, метрической или проективной), арифметики, алгебры и т.д. Вопрос о внутренней истинности постулатов более не рассматривается. Что же касается терминов, используемых в постулатах, то от них не требуется иного смысла, кроме того, который приписывается им постулатами. Из-за возросшей роли постулатов в математической системе их теперь анализируют более тщательно, чем когда-либо раньше. Разумеется, постулаты должны быть непротиворечивы, но весьма желательно, чтобы они были независимы, а число их было минимально. В некоторых случаях постулаты должны образовывать полное множество. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что множество постулатов называется полным, если оно позволяет решить, истинно или ложно любое утверждение из области применимости постулатов, или, иначе говоря, если к этому множеству невозможно добавить новые постулаты, не впадая при этом в противоречие или избыточность.